Iterasi dalam Kalkulus:

Iterasi adalah suatu pendekatan berulang atau proses berulang yang digunakan untuk mendekati solusi matematis tertentu, terutama dalam konteks mencari akar persamaan atau nilai-nilai lainnya. Proses ini seringkali melibatkan pengulangan langkah-langkah tertentu untuk mendekati solusi yang diinginkan.

Contoh sederhana dapat diilustrasikan dengan metode Newton-Raphson, sebuah teknik iteratif umum untuk mencari akar persamaan. Misal terdapat persamaan matematis yang kompleks dan sulit dipecahkan secara langsung. Dengan menggunakan iterasi, nilai yang paling mendekati solusi/penyelesaian dapat dicari. Umumnya, iterasi menggunakan pendekatan berikut:

  1. Tebakan Awal:
    • Pilih suatu tebakan awal sebagai perkiraan awal dari solusi. Misalnya, jika ingin mencari akar dari persamaan \(f(x) = 0\), maka, mulai dengan menebak nilai \(x\) yang mungkin mendekati akar.
  2. Perbarui Tebakan:
    • Gunakan tebakan awal untuk menghitung nilai fungsi pada titik tersebut. Dengan informasi ini, tebakan yang lebih baik untuk mendekati solusi sebenarnya dapat ditemukan. Proses ini melibatkan turunan fungsi pada titik tersebut.
  3. Pengulangan:
    • Terus lakukan langkah-langkah perbarui tebakan untuk mendekati solusi. Setiap iterasi memperbarui tebakan berdasarkan informasi terakhir yang dimiliki. Semakin banyak melakukan iterasi, semakin baik perkiraan terhadap solusi sebenarnya.
  4. Konvergensi:
    • Setelah beberapa iterasi, nilai tebakan akan semakin mendekati solusi yang diinginkan. Proses iteratif dapat dihentikan saat perbedaan antara tebakan saat ini dan tebakan sebelumnya sudah cukup kecil.

Contoh Sederhana:

Misalkan ketika ingin mencari akar dari persamaan \(f(x) = x^2 - 9\), yang berarti akan dicari nilai \(x\) yang membuat \(x^2 - 9 = 0\). Mari lakukan iterasi dengan metode Newton-Raphson.

  1. Tebakan Awal:
    • Pilih tebakan awal, misalnya \(x_0 = 2\).
  2. Perbarui Tebakan:
    • Hitung \(f(x_0) = 2^2 - 9 = -5\) dan \(f'(x_0) = 2 \times 2 = 4\).
    • Perbarui tebakan menggunakan rumus Newton-Raphson: \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{-5}{4} = \frac{13}{4} \approx 3.25\).
  3. Pengulangan:
    • Lakukan langkah 2 berulang kali dengan nilai \(x_1\) sebagai tebakan baru.
  4. Konvergensi:
    • Setelah beberapa iterasi, hasil akan mendekati solusi yang diinginkan, yaitu \(x \approx 3\).

Dengan menggunakan iterasi, kita dapat mendekati nilai akar persamaan secara sistematis tanpa harus mengandalkan solusi analitis yang mungkin sulit atau tidak mungkin ditemukan.

Implementasi dalam Bahasa R:

# Fungsi untuk menghitung nilai fungsi
f <- function(x) {
  return(x^2 - 9)
}

# Fungsi untuk menghitung turunan fungsi
df <- function(x) {
  return(2 * x)
}

# Metode Newton-Raphson untuk mencari akar persamaan
newton_raphson <- function(guess, tol = 1e-6, max_iter = 100) {
  x <- guess
  iter <- 0
  
  while (iter < max_iter) {
    # Perbarui tebakan menggunakan rumus Newton-Raphson
    x_new <- x - f(x) / df(x)
    
    # Periksa konvergensi
    if (abs(x_new - x) < tol) {
      cat("Iterasi konvergen setelah", iter, "langkah.\n")
      return(x_new)
    }
    
    # Perbarui nilai tebakan untuk iterasi selanjutnya
    x <- x_new
    iter <- iter + 1
  }
  
  # Jika mencapai batas iterasi maksimum tanpa konvergensi
  cat("Iterasi tidak konvergen setelah", max_iter, "langkah.\n")
  return(NULL)
}

# Penerapan metode Newton-Raphson dengan tebakan awal x_0 = 2
hasil_iterasi <- newton_raphson(guess = 2)
## Iterasi konvergen setelah 4 langkah.
# Tampilkan hasil akhir
cat("Solusi akhir:", hasil_iterasi, "\n")
## Solusi akhir: 3
  1. Fungsi f (fungsi):
    • Digunakan untuk mendefinisikan fungsi matematika yang ingin dicari akarnya. Dalam contoh ini, fungsi yang didefinisikan adalah \(f(x) = x^2 - 9\).
  2. Fungsi df (turunan fungsi):
    • Menghitung turunan pertama dari fungsi \(f(x)\). Untuk fungsi kuadrat \(f(x) = x^2 - 9\), turunannya adalah \(f'(x) = 2x\).
  3. Fungsi newton_raphson (metode Newton-Raphson):
    • Menerima tebakan awal (guess), toleransi error (tol), dan jumlah iterasi maksimum (max_iter) sebagai argumen.
    • Melakukan iterasi menggunakan rumus Newton-Raphson \(x_{\text{new}} = x - \frac{f(x)}{f'(x)}\) hingga mencapai konvergensi atau mencapai batas iterasi maksimum.
    • Memberikan output hasil akhir jika konvergen, atau mencetak pesan jika tidak konvergen dalam jumlah iterasi maksimum yang ditentukan.
  4. Penerapan metode Newton-Raphson:
    • Menggunakan fungsi newton_raphson dengan tebakan awal \(x_0 = 2\).
    • Hasilnya disimpan dalam variabel hasil_iterasi.
  5. Menampilkan hasil akhir:
    • Mencetak hasil akhir dari metode Newton-Raphson, baik itu solusi akhir jika konvergen atau pesan kesalahan jika tidak konvergen.

Dengan menggunakan contoh fungsi kuadrat \(f(x) = x^2 - 9\), kode tersebut mencoba menemukan akar persamaannya menggunakan metode Newton-Raphson dengan tebakan awal \(x_0 = 2\). Hasil akhirnya akan dicetak, dan jika iterasi tidak konvergen setelah jumlah iterasi maksimum, pesan kesalahan akan ditampilkan.

Referensi:
Kaplan, Daniel. 2022. MOSAIC Calculus. GitHub Pages. https://dtkaplan.github.io/MC2/