Centralidades

Una de las preguntas más importantes sobre un nodo es que tán importante es en el grafo; ¿quién, en un grupo de amigos, tiene más influencia en los demas? ¿qué tán crítica es una carretera en una ciudad para el flujo de tráfico?

Ésta importancia recibe el nombre de centralidad en la ciencia de redes. Hay varías medidas de centralidad, éstas se podrían agrupar siguiendo ideas de distancia, flujo, retroalimentación, control, o dependiendo de como son calculadas, entre otras maneras.

La más usada de ellas es la centralidad de grado; otras centralidades usuales son las centralidades de cercania y la de intermedialidad..

Red de carreteras de la Ciudad de México

El análisis correspondea a la Ciudad de México, la ciudad comprende las 16 delegaciones del DF, 59 municipios del Estado de México y uno de Hidalgo. El mapa de la red vial, compuesta de 303576 calles que se cruzan 608714 veces entre ellas, es el siguiente:

Distribución de grado

El grado de un nodo es el número de enlaces que tiene con los demas nodos. La distribución de grado de la red vial de la ZMCM se muestra en la siguiente grafica:

En promedio, las calles se cruzan con otras 4.010291; las calles con grados más altos se cruzan con las demas 224, 216 y 200 veces, respectivamente.

Centralidad de grado

Es básicamente el número de enlaces que tiene un nodo; en la red vial corresponde a la cantidad de veces que una calle se cruza con las demas. De este modo, una cerrada tendrá centralidad de grado igual a 1, y una calle que se cruza con otras dos calles tendra centralidad de grado igual a 2. La centralidad de grado de la red vial de la Ciudad de México se muestra en el siguiente mapa:

Mientras más intenso el color, la centralidad de grado de dicha calle es mayor. Se aprecia que la carretera que se cruza más veces con los demas es el eje central (¿o no?), le sigue una de Nezahualcóyotl, mientras que la tercera se ubica en Alvaro Obregon.

Centralidad de cercania

La centralidad de cercania intenta capturar la idea de que un nodo es central si está cerca de muchos nodos; la centralidad de cercania mide cuantos pasos se necesitan para acceder al resto de los nodos a partir de uno dado. La cercania varia inversamente con la distancia total de un nodo hacia los demas. En el caso de la red vial, las calles con cercania más alta están mas cerca de cualquier otra (en promedio) que una con baja cercania. La distribución de la cercania, normalizada, es la siguiente:

La cercania promedio es 0.522074. La cercania de la red vial se muestra en el siguiente mapa:

Las regiones con un azul más intenso son más centrales que verdes, y estas más centrales que las amarillas. Yo podría decir que el municipio de Nezahualcóyotl está más cerca del resto de la ciudad de lo que está la delegación Miguel Hidalgo, ¿o no?¿cúal calle es el centro de la Ciudad de México?

Centralidad de intermedialidad

La centralidad de intermedialidad trata de medir la cantidad de veces que un nodo se localiza en el camino de dos pares de nodos. Para ésta centralidad la importancia está relacionada con donde está un nodo localizado con respecto a los caminos en la red. Las calles con centralidad de intermedialidad más alta aparacen más seguido en las trayectorias.

La red vial de la Ciudad de México es tan grande que aún no encuentro la forma de obtener ésta centralidad :/; actualizaré esta pagina cuando lo logre.

Centralidad de intermedialidad de los enlaces

La idea detras de la centralidad de intermedialidad se puede extender facilmente para los enlaces. En éste caso se mide la cantidad de caminos que pasan por los enlaces; ésto es, mide la cantidad de trayectorias que pasan por los cruceros. Cuando actualize la página incluiré está centralidad.