“Si se extraen todas las muestras posibles de tamaño 16 de una población normal con media igual a 50 y desviación estándar igual a 5, ¿cuál es la probabilidad de que una media muestral X caiga en el intervalo que va de μX −1.9σX a μX − 0.4σX? Suponga que las medias muestrales se pueden medir con cualquier grado de precisión.”
### Solución
media_poblacion <- 50
desviacion_poblacion <- 5
tamaño_muestra <- 16
media_muestral <- media_poblacion
desviacion_muestral <- desviacion_poblacion / sqrt(tamaño_muestra)
intervalo_inferior <- media_muestral - 1.9 * desviacion_muestral
intervalo_superior <- media_muestral - 0.4 * desviacion_muestral
probabilidad_inferior <- pnorm(intervalo_inferior, mean = media_muestral, sd = desviacion_muestral)
probabilidad_superior <- pnorm(intervalo_superior, mean = media_muestral, sd = desviacion_muestral)
probabilidad_intervalo <- probabilidad_superior - probabilidad_inferior
cat("La probabilidad de que X̄ esté en el intervalo [", round(intervalo_inferior, 2), ", ", round(intervalo_superior, 2), "] es:", round(probabilidad_intervalo, 4))## La probabilidad de que X̄ esté en el intervalo [ 47.62 , 49.5 ] es: 0.3159“8.19 Se fabrica cierto tipo de hilo con una resistencia a la tensión media de 78.3 kilogramos y una desviación estándar de 5.6 kilogramos. ¿Cómo cambia la varianza de la media muestral cuando el tamaño de la muestra. a) aumenta de 64 a 196? b) disminuye de 784 a 49?”
v <- 5.6^2
tama <- c(64, 196)
tamd<- c(784, 49)
varma <- v / tama
varmd <- v / tamd
resulta<- data.frame(Tamaño_de_Muestra = tama, Varianza_de_Media_Muestral = varma)
resultd <- data.frame(Tamaño_de_Muestra = tamd, Varianza_de_Media_Muestral = varmd)
print("Cuando el tamaño de la muestra aumenta:")## [1] "Cuando el tamaño de la muestra aumenta:"## Tamaño_de_Muestra Varianza_de_Media_Muestral
## 1 64 0.49
## 2 196 0.16## [1] "Cuando el tamaño de la muestra disminuye:"## Tamaño_de_Muestra Varianza_de_Media_Muestral
## 1 784 0.04
## 2 49 0.64“Dada la población uniforme discreta f(x) = 1/3 , x = 2, 4, 6, 0, en otro caso, calcule la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 54, seleccionada con reemplazo, produzca una media muestral mayor que 4.1 pero menor que 4.4. Suponga que las medias se miden al décimo más cercano.”
mu <- 4
poblacion <- sqrt(4/3)
n <- 54
inferior <- 4.05
superior <- 4.35
prob_inferior <- punif(inferior, min = mu - sqrt(4/3) / sqrt(n), max = mu + sqrt(4/3) / sqrt(n))
prob_superior <- punif(superior, min = mu - sqrt(4/3) / sqrt(n), max = mu + sqrt(4/3) / sqrt(n))
probabilidad<- prob_superior - prob_inferior
cat("La probabilidad de que la media muestral esté entre 4.1 y 4.4 es:", round(probabilidad, 4), "\n")## La probabilidad de que la media muestral esté entre 4.1 y 4.4 es: 0.3409“Las estaturas de 1000 estudiantes se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de esta población y las medias se registran al décimo de centímetro más cercano, determine a) la media y la desviación estándar de la distribución muestral de X; b) el número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros; c) el número de medias muestrales que caen por debajo de 172.0 centímetros.”
# A
media_pon <- 174.5
desviacion_pobla<- 6.9
n <- 25
desviacion_muestral <- desviacion_pobla/ sqrt(n)
cat("Media de la distribución muestral de X̄:", media_pon)## Media de la distribución muestral de X̄: 174.5## Desviación estándar de la distribución muestral de X̄: 1.38# B
z1 <- (172.5 - media_pon) / desviacion_muestral
z2 <- (175.8 - media_pon) / desviacion_muestral
prob <- pnorm(z2) - pnorm(z1)
cat("Número de medias muestrales entre 172.5 y 175.8 cm:", round(prob * 200, 0), "\n")## Número de medias muestrales entre 172.5 y 175.8 cm: 151# C
z3 <- (172.0 - media_pon) / desviacion_muestral
prob<- pnorm(z3)
cat("Número de medias muestrales por debajo de 172.0 cm:", round(prob * 200, 0), "\n")## Número de medias muestrales por debajo de 172.0 cm: 7“La variable aleatoria X, que representa el número de cerezas en un tarta, tiene la siguiente distribución de probabilidad: x 4 5 6 7 P(X = x) 0.2 0.4 0.3 0.1 a) Calcule la media μ y la varianza σ 2de X. b) Calcule la media μX¯ y la varianza σ2X de la media X para muestras aleatorias de 36 tartas de cereza. c) Calcule la probabilidad de que el número promedio de cerezas en 36 tartas sea menor que 5.5.”
media_mues<- 5.2
desviacion_mues <- 0.2
n <- 36
valor_prom <- 5.5
z <- (valor_prom - media_mues) / (desviacion_mues / sqrt(n))
prob <- pnorm(z)
cat("La probabilidad de que el número promedio de cerezas en 36 tartas sea menor que 5.5 es:", round(prob, 4))## La probabilidad de que el número promedio de cerezas en 36 tartas sea menor que 5.5 es: 1“La vida media de una máquina para elaborar pan es de 7 años, con una desviación estándar de 1 año. Suponga que la vida de estas máquinas sigue aproximadamente una distribución normal y calcule a) la probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años. b) el valor de x a la derecha del cual caería 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño 9.”
mu_pobl <- 7
sigma_pobla <- 1
n <- 9
desviacion <- sigma_pobla / sqrt(n)
z1 <- (6.4 - mu_pobl) / desviacion
z2 <- (7.2 - mu_pobl) / desviacion
prob_a <- pnorm(z2) - pnorm(z1)
percentil <- 0.85
z<- qnorm(percentil)
valor_percentil <- z * desviacion + mu_pobl
cat("a) Probabilidad de que la vida media esté entre 6.4 y 7.2 años:", round(prob_a, 4))## a) Probabilidad de que la vida media esté entre 6.4 y 7.2 años: 0.6898## b) Valor de x para el percentil 85%: 7.35“En un proceso químico la cantidad de cierto tipo de impureza en el producto es difícil de controlar y por ello es una variable aleatoria. Se especula que la cantidad media de la población de impurezas es 0.20 gramos por gramo del producto. Se sabe que la desviación estándar es 0.1 gramos por gramo. Se realiza un experimento para entender mejor la especulación de que μ = 0.2. El proceso se lleva a cabo 50 veces en un laboratorio y el promedio de la muestra x¯ resulta ser 0.23 gramos por gramo. Comente sobre la especulación de que la cantidad media de impurezas es 0.20 gramos por gramo. Utilice el teorema del límite central en su respuesta”
mu_pobla <- 0.20
sigma_pobla <- 0.1
n <- 50
x <- 0.23
sigma_media <- sigma_pobla / sqrt(n)
Z <- (x - mu_pobla) / sigma_media
prob<- pnorm(Z)
cat("Probabilidad asociada al Z-score:", round(prob, 4), "\n")## Probabilidad asociada al Z-score: 0.9831if (probabilidad < 0.05) {
cat("La probabilidad es baja, lo que sugiere que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional especulada es estadísticamente significativa.\n")
} else {
cat("La probabilidad es relativamente alta, lo que sugiere que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional especulada no es estadísticamente significativa.\n")
}## La probabilidad es relativamente alta, lo que sugiere que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional especulada no es estadísticamente significativa.“8.29 La distribución de alturas de cierta raza de perros terrier tiene una media de 72 centímetros y una desviación estándar de 10 centímetros; en tanto que la distribución de alturas de cierta raza de poodles tiene una media de 28 centímetros con una desviación estándar de 5 centímetros. Suponga que las medias muestrales se pueden medir con cualquier grado de precisión y calcule la probabilidad de que la media muestral de una muestra aleatoria de alturas de 64 terriers exceda la media muestral para una muestra aleatoria de alturas de 100 poodles a lo sumo 44.2 centímetros.”
media_terriers <- 72
desviacion_terriers <- 10
n_terriers <- 64
media_poodles <- 28
desviacion_poodles <- 5
n_poodles <- 100
media_diferencia <- media_terriers - media_poodles
desviacion_diferencia <- sqrt((desviacion_terriers^2 / n_terriers) + (desviacion_poodles^2 / n_poodles))
valor_evaluar <- 44.2
z_score <- (valor_evaluar - media_diferencia) / desviacion_diferencia
probabilidad <- pnorm(z_score)
cat("La probabilidad de que la media muestral de alturas de 64 terriers exceda a la de 100 poodles con un máximo de 44.2 cm es:", round(probabilidad, 4), "\n")## La probabilidad de que la media muestral de alturas de 64 terriers exceda a la de 100 poodles con un máximo de 44.2 cm es: 0.559“El benceno es una sustancia química altamentetóxica para los seres humanos. Sin embargo, se utiliza en la fabricación de medicamentos, de tintes y de recubrimientos, así como en la peletería. Las regulaciones del gobierno establecen que el contenido de benceno en el agua que resulte de cualquier proceso de producción en el que participe esta sustancia no debe exceder 7950 partes por millón (ppm). Para un proceso particular de interés, un fabricante recolectó una muestra de agua 25 veces de manera aleatoria y el promedio muestral x fue de 7960 ppm. A partir de los datos históricos, se sabe que la desviación estándar σ es 100 ppm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio muestral en este experimento exceda el límite establecido por el gobierno, si la media de la población es igual al límite? Utilice el teorema del límite central. b) ¿La x¯ = 7960 observada en este experimento es firme evidencia de que la media de la población”
media_poblacion <- 7950
desviacion_poblacion <- 100
n_muestra <- 25
x_barra <- 7960
z_score <- (x_barra - media_poblacion) / (desviacion_poblacion / sqrt(n_muestra))
probabilidad <- 1 - pnorm(z_score)
cat("a) La probabilidad de que el promedio muestral exceda el límite establecido por el gobierno es:", round(probabilidad, 4), "\n")## a) La probabilidad de que el promedio muestral exceda el límite establecido por el gobierno es: 0.3085probabilidad_condicional <- 1 - pnorm(z_score)
cat("b) La probabilidad condicional de que μ = 7950 dado que x̄ = 7960 es:", round(probabilidad_condicional, 4), "\n")## b) La probabilidad condicional de que μ = 7950 dado que x̄ = 7960 es: 0.3085