Nama: Muhammad Haikal Fikri, NIM: 230605110067, Fakultas: Sains dan Teknologi, Program studi: Teknik Informatika, Universitas: Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang, Dosen pengajar: Prof. Dr. Suhartono, M.Kom, Tanggal kirim: Rabu, 9 November 2023

Tantangan Non-konvergensi dalam Pelokalan Akar untuk Pencarian Nol

Non-konvergensi mengacu pada situasi di mana metode pelokalan akar gagal mencapai solusi. Hal ini dapat terjadi ketika metode tidak mencapai perkiraan akar yang stabil setelah sejumlah besar iterasi.

Penyebab umum dari ketidakkonvergenan termasuk memulai dengan tebakan awal yang tidak tepat atau menemukan fungsi yang tidak dikondisikan dengan baik. Penting untuk mengatasi masalah non-konvergensi untuk memastikan keandalan pelokalan akar.

Hal ini dapat terjadi karena beberapa alasan:

  1. Tebakan Awal yang Tidak Tepat: Pilihan tebakan awal secara signifikan memengaruhi konvergensi metode pelokalan akar. Jika tebakan awal jauh dari akar yang sebenarnya, mungkin diperlukan sejumlah besar iterasi agar metode mendekati akar.

  2. Fungsi yang Dikondisikan dengan Buruk: Beberapa fungsi memiliki kondisi yang buruk, yang berarti fungsi tersebut menunjukkan perilaku yang tidak menentu di sekitar akarnya. Perilaku yang tidak menentu ini dapat menyebabkan metode berosilasi atau menyimpang, sehingga mencegah konvergensi.

  3. Minima atau Maksimum Lokal: Dalam beberapa kasus, sebuah fungsi mungkin memiliki beberapa minimum atau maksimum lokal di sekitar akar. Metode ini mungkin terjebak dalam ekstrem lokal dan gagal mencapai minimum global.

Berikut ini adalah beberapa situasi yang lebih kompleks di mana non-konvergensi dapat menjadi tantangan:

  1. Fungsi yang Sangat Berosilasi: Fungsi dengan osilasi cepat atau komponen frekuensi tinggi dapat membuat pelokalan akar menjadi sulit. Metode dapat berosilasi di sekitar akar tanpa konvergen. Misalnya, dalam fisika, memodelkan perilaku senar yang bergetar dengan beberapa nada dapat menyebabkan fungsi yang sangat berosilasi.

  2. Singularitas Dekat Akar: Ketika sebuah singularitas, seperti kutub atau singularitas esensial, terletak dekat dengan akar, maka hal ini dapat mengganggu konvergensi. Singularitas menyebabkan lompatan tiba-tiba atau diskontinuitas dalam fungsi, sehingga menyulitkan metode untuk mendekati akar.

  3. Masalah Ketepatan Numerik: Non-konvergensi dapat terjadi karena ketepatan numerik yang terbatas dalam lingkungan komputasi. Ketika berhadapan dengan angka yang sangat besar atau kecil, metode mungkin kesulitan untuk mencapai akar, dan ketidakstabilan numerik dapat mencegah konvergensi.

  4. Fungsi Multimodal: Fungsi dengan beberapa minimum atau maksimum lokal yang berdekatan dengan akar menimbulkan tantangan. Metode dapat konvergen ke minimum lokal dan bukannya minimum global, yang mengarah ke hasil yang salah. Dalam masalah optimasi, hal ini dapat menjadi masalah yang signifikan.

  5. Noisy Data dan Outliers: Dalam analisis data kehidupan nyata, noisy data atau adanya outliers dapat menghambat lokalisasi akar. Kehadiran titik data yang tidak terduga dapat mengganggu perilaku fungsi yang diharapkan dan menyebabkan non-konvergensi.

Strategi untuk mengatasi non-konvergensi dapat melibatkan:

  1. Tebakan Awal yang lebih baik: Memilih tebakan awal yang lebih baik atau menerapkan metode lain yang tidak terlalu bergantung pada tebakan awal.

  2. Penyetelan Algoritma: Menyesuaikan parameter algoritme, seperti ukuran langkah atau toleransi konvergensi, untuk meningkatkan kemungkinan konvergensi.

  3. Peralihan Metode: Beralih ke metode alternatif jika metode saat ini tidak mungkin konvergen dalam kondisi tertentu.

Contoh Masalah Kehidupan Nyata:

Pertimbangkan contoh masalah dalam kehidupan nyata yang melibatkan keuangan berikut ini:

Skenario: Pengambilan Keputusan Investasi

Tantangan: Non-konvergensi dalam Optimalisasi Portofolio

Penjelasan: Dalam optimasi portofolio, tujuannya adalah untuk menemukan alokasi aset yang memaksimalkan hasil sekaligus meminimalkan risiko. Hal ini melibatkan pencarian bobot aset yang berbeda dalam portofolio. Hasil yang diharapkan dan kovarian antar aset digunakan untuk membangun fungsi objektif matematis.

Skenario Kompleks untuk Non-Konvergensi: Bayangkan sebuah skenario di mana pengembalian aset menunjukkan perilaku yang sangat berosilasi. Hal ini dapat disebabkan oleh kondisi pasar yang bergejolak atau adanya aset spekulatif. Fungsi optimasi portofolio dapat berosilasi saat bobot aset berubah, sehingga menyulitkan metode optimasi untuk mencapai alokasi yang optimal.

Implikasi:

Ketidakkonvergensi dapat menyebabkan alokasi aset yang tidak optimal, sehingga menghasilkan imbal hasil yang lebih rendah atau risiko yang lebih tinggi dari yang diinginkan. Keputusan investasi yang didasarkan pada optimasi portofolio yang tidak konvergen mungkin tidak mencerminkan potensi aset yang sebenarnya.

Solusi:

  1. Menggunakan teknik optimasi yang lebih kuat yang dirancang untuk fungsi yang sangat berosilasi. Menerapkan penghalusan atau pemfilteran data untuk mengurangi dampak fluktuasi frekuensi tinggi.

  2. Representasi Visual dalam R - Contoh Non-Konvergensi: Fungsi sederhana memiliki banyak minimum dan daerah yang tidak terkondisi dengan baik yang mengarah ke non-konvergensi.

# Load necessary libraries
library(ggplot2)

# Create a function with multiple minima
f <- function(x) {
  return(x^4 - 6 * x^3 + 11 * x^2 - 6 * x)
}

# Generate data points for the function
x <- seq(1, 4, by = 0.1)  # Adjust the range and interval to tens
y <- f(x)

# Define the initial guess
initial_guess <- 3

# Perform more iterative optimization steps
iterations <- data.frame(
  x = c(2.8, 2.5, 2.3, 2.2, 2.15, 2.12, 2.11),
  y = c(f(2.8), f(2.5), f(2.3), f(2.2), f(2.15), f(2.12), f(2.11)
  ),
  iteration = c("Iteration 1", "Iteration 2", "Iteration 3", "Iteration 4", "Iteration 5", "Iteration 6", "Iteration 7")
)

# Define ymin and ymax values within the range of tens
ymin <- -50  # Adjusted to tens
ymax <- 70   # Adjusted to tens

# Create separate data frames for the green and red dots
green_dots <- data.frame(x = iterations$x, y = iterations$y)
green_dots$shape <- "Iteration"
green_dots$size <- 10

red_dot <- data.frame(x = initial_guess, y = f(initial_guess))
red_dot$iteration <- "Initial Guess"
red_dot$shape <- "Initial Guess"
red_dot$size <- 10

# Create a plot with a thinner orange line, adjusted legend position
p <- ggplot(data = data.frame(x = x, y = y), aes(x, y)) +
  geom_line(aes(linetype = "Function"), color = "blue", linewidth = 1.5) +
  geom_point(data = green_dots, aes(x = x, y = y, shape = shape, size = size, color = shape)) +
  geom_point(data = red_dot, aes(x = x, y = y, shape = shape, size = size, color = shape) ) +
  geom_rect(aes(xmin = 2.2, xmax = 2.5, ymin = ymin, ymax = ymax), fill = "orange", alpha = 0.15, linewidth = 0.5)  +  # Adjusted thickness
  labs(
    title = "Complex Non-Convergence Example",
    subtitle = "Understanding the Challenges of Inappropriate Initial Guess",
    caption = "Source: Your Company"
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    axis.title = element_text(size = 14),
    axis.text = element_text(size = 12),
    plot.title = element_text(size = 16, face = "bold"),
    plot.subtitle = element_text(size = 14),
    plot.caption = element_text(size = 10),
    legend.position = "bottom"  # Adjust the legend position to the bottom
  ) +
  scale_linetype_manual(values = "solid") +
  scale_shape_manual(values = c("Iteration" = 19, "Initial Guess" = 19), guide = "legend") +
  scale_color_manual(values = c("Iteration" = "green", "Initial Guess" = "red"))

print(p)

Dalam contoh yang kompleks ini, kami mengeksplorasi tantangan non-konvergensi selama pengoptimalan. Kurva biru mewakili fungsi yang sedang dioptimalkan, sedangkan titik hijau menunjukkan iterasi pengoptimalan. Prosesnya dimulai dengan tebakan awal yang tidak tepat (titik merah), yang dapat menyebabkan non-konvergensi. Iterasi berikutnya (diberi label) berusaha untuk menemukan solusi optimal tetapi kesulitan di wilayah yang dikondisikan dengan buruk (disorot), di mana fungsi berperilaku tidak menentu. Hal ini menyoroti pentingnya memilih tebakan awal yang tepat untuk optimasi yang sukses.

Referensi:

Richard L, Douglas Faires.(2010).Numerical Analysis.Boston.