Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Pendahuluan

 Diferensiasi Parsial adalah konsep penting dalam kalkulus yang digunakan untuk menghitung turunan parsial suatu fungsi terhadap salah satu variabelnya, sementara variabel lainnya dianggap tetap. Konsep ini memungkinkan kita untuk memahami bagaimana perubahan satu variabel memengaruhi nilai fungsi keseluruhan, dan ini memiliki banyak aplikasi dalam ilmu pengetahuan dan teknik.

Pengertian Diferensiasi Parsial

 Diferensiasi Parsial terkait dengan menghitung turunan fungsi multivariabel (fungsi yang bergantung pada lebih dari satu variabel independen). Dalam konteks ini, kita memiliki fungsi f(x,y), yang tergantung pada dua variabel independen, x dan y. Diferensiasi parsial memungkinkan kita untuk menghitung bagaimana perubahan kecil dalam salah satu variabel (x atau y) akan memengaruhi perubahan nilai fungsi (f).

angkah-langkah dalam diferensiasi parsial

  1. Definisi Fungsi: Kita memiliki fungsi f(x,y) yang akan kita diferensiasi. Misalnya, f(x,y) bisa mewakili suhu suatu titik dalam ruang berdasarkan koordinat x dan y.

  2. Diferensiasi terhadap Variabel Pertama: Untuk menghitung turunan parsial terhadap variabel x, kita memperlakukan y sebagai konstan dan menghitung turunan f terhadap x. Ini disebut sebagai af/ax Ini mengukur perubahan f saat x berubah, sedangkan y dianggap tetap.

  3. Diferensiasi terhadap Variabel Kedua: Demikian pula, untuk menghitung turunan parsial terhadap variabel y, kita memperlakukan x sebagai konstan dan menghitung turunan f terhadap y. Ini disebut sebagai af/ax Ini mengukur perubahan f saat y berubah, sedangkan x dianggap tetap.

  4. Interpretasi: Turunan parsial ini memberi kita informasi tentang sejauh mana perubahan dalam x atau y akan memengaruhi perubahan dalam f.Dalam konteks suhu, af/ax mungkin mengukur sejauh mana suhu berubah ketika kita mengubah x, sementara y tetap konstan.

  5. Turunan Parsial Orde Tinggi: Dalam beberapa kasus, kita juga dapat menghitung turunan parsial orde tinggi, seperti turunan kedua terhadap x(a2f/ax2) atau terhadap y (a^2f/ay2) Ini memberikan informasi lebih lanjut tentang perubahan tingkat kedua dalam f.

Contoh soal

Anda memiliki fungsi f(x,y) = 3X^2Y -2X +4Y^3 dan hitunglah turunan parsial dari fungsi ini terhadap x dan y

  1. hitung af/ax, turunan pasrsial dari f terhadap x

  2. hitung af/ay, turunan parsial dari f terhadap y

Menghitung turunan parsialnya terhadap x dan y pada titik tertentu (xO, yO)

# Definisi fungsi f(x, y)
f <- function(x, y) {
  return(3 * x^2 * y - 2 * x + 4 * y^3)
}

# Hitung turunan parsial terhadap x
df_dx <- function(x, y) {
  return(3 * 2 * x * y - 2)
}

# Hitung turunan parsial terhadap y
df_dy <- function(x, y) {
  return(3 * x^2 + 4 * 3 * y^2)
}

# Titik di mana kita akan menghitung turunan
x0 <- 2
y0 <- 1

# Hitung turunan parsial di titik (x0, y0)
partial_x <- df_dx(x0, y0)
partial_y <- df_dy(x0, y0)

# Tampilkan hasil
cat("Turunan Parsial terhadap x:", partial_x, "\n")
## Turunan Parsial terhadap x: 10
cat("Turunan Parsial terhadap y:", partial_y, "\n")
## Turunan Parsial terhadap y: 24

CONTOH SOAL 2

Anda memiliki fungsi f(x,y) = x3y2 + 2xy -5x + 3y dan hitunglah turunan parsial dari fungsi ini terhadap x dan y

  1. hitung af/ax, turunan pasrsial dari f terhadap x

  2. hitung af/ay, turunan parsial dari f terhadap y

Menghitung turunan parsialnya terhadap x dan y pada titik tertentu (xO, yO)

# Definisi fungsi f(x, y)
f <- function(x, y) {
  return(x^3 * y^2 + 2 * x * y - 5 * x + 3 * y)
}

# Hitung turunan parsial terhadap x
df_dx <- function(x, y) {
  return(3 * x^2 * y^2 + 2 * y - 5)
}

# Hitung turunan parsial terhadap y
df_dy <- function(x, y) {
  return(2 * x * y^2 + 2 * x + 3)
}

# Titik di mana kita akan menghitung turunan
x0 <- 2
y0 <- 3

# Hitung turunan parsial di titik (x0, y0)
partial_x <- df_dx(x0, y0)
partial_y <- df_dy(x0, y0)

# Tampilkan hasil
cat("Turunan Parsial terhadap x:", partial_x, "\n")
## Turunan Parsial terhadap x: 109
cat("Turunan Parsial terhadap y:", partial_y, "\n")
## Turunan Parsial terhadap y: 43

Manfaat Diferensiasi Parsial

 Diferensiasi parsial adalah alat yang penting dalam pemodelan dan analisis dalam berbagai disiplin ilmu, termasuk fisika, teknik, ekonomi, dan statistik. Ini memungkinkan kita untuk memahami hubungan kompleks antara variabel-variabel dalam sistem dunia nyata. Misalnya, dalam fisika, diferensiasi parsial dapat digunakan untuk memahami perubahan suhu di dalam benda ketika satu sisi benda terkena panas. Ini juga digunakan dalam perhitungan gradien, vektor medan, dan banyak aplikasi lainnya dalam matematika dan ilmu terapan.

Kesimpulan

 Diferensiasi Parsial adalah konsep kalkulus yang memungkinkan kita untuk menghitung turunan fungsi terhadap satu variabel sementara mempertahankan variabel lainnya tetap konstan. Ini adalah alat penting dalam pemodelan dan analisis ilmiah dan teknis. Dalam konteks sumber Stewart (2015), diferensiasi parsial digunakan untuk memahami hubungan antara variabel-variabel dalam konteks yang lebih luas dan aplikasi matematis.

Sumber

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.