METODE PENCARIAN AKAR BERGANDA DALAM KALKULUS

Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Pendahuluan

Metode Pencarian Akar Berganda (Multiple Roots) adalah metode dalam kalkulus yang digunakan untuk menemukan akar-akar ganda atau lebih tingkat dari suatu fungsi matematis.

Pengertian Metode Pencarian Akar Berganda dalam Kalkulus

Metode Pencarian Akar Berganda digunakan ketika kita ingin menemukan akar-akar fungsi matematis yang mungkin berlipat ganda. Akar ganda terjadi ketika suatu fungsi memiliki akar yang lebih dari satu pada nilai yang sama. Fungsi f(x) memiliki akar ganda di x=a jika f(a)=0 dan f′(a)=0.

Langkah-langkah utama dalam metode ini adalah:

1. Penentuan Akar Berganda: Pertama-tama, kita perlu menentukan bahwa suatu fungsi memiliki akar yang berlipat ganda pada suatu titik tertentu, yaitu titik di mana f(a)=0 danf’(a)=0. Ini adalah titik di mana tangen garis singgung (turunan pertama) terhadap kurva fungsi bersentuhan dengan sumbu x.

2. Penentuan Derajat Kelipatan Akar: Setelah kita mengetahui bahwa akar berlipat ganda, kita perlu menentukan derajat atau kelipatan akar tersebut. Kelipatan akar diukur dengan memeriksa apakah turunan kedua f ′′(a) juga sama dengan nol di titik a. Jika f ′′(a)=0, maka akar tersebut adalah akar tiga kali lipat, dan seterusnya.

3. Metode Numerik: Setelah menentukan kelipatan akar, kita dapat menggunakan berbagai metode numerik, seperti Metode Newton-Raphson yang telah dijelaskan sebelumnya, untuk mencari akar-akar berlipat ganda ini. Dalam kasus akar berlipat ganda, iterasi mungkin akan lebih rumit, tetapi prinsip dasar tetap sama: mendekati akar dengan solusi iteratif.

Contoh Soal

mencari akar berlipat ganda dari fungsi f(x)=x^3−6x2+11x−6 dengan menggunakan Metode Newton-Raphson. Kita juga memerlukan turunan fungsi (f ′(x)) untuk menggunakan metode ini. Nilai awal x0 dipilih agar cukup dekat dengan akar berlipat ganda.

# Fungsi yang akan dicari akarnya
f <- function(x) {
  return(x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6)
}

# Turunan fungsi
f_prime <- function(x) {
  return(3*x^2 - 12*x + 11)
}

# Metode Newton-Raphson
newton_raphson <- function(f, f_prime, x0, tol = 1e-6, max_iter = 100) {
  iter <- 0
  while (iter < max_iter) {
    x1 <- x0 - f(x0) / f_prime(x0)
    if (abs(x1 - x0) < tol) {
      return(x1)  # Solusi ditemukan
    }
    x0 <- x1
    iter <- iter + 1
  }
  return(NULL)  # Solusi tidak ditemukan dalam iterasi yang ditentukan
}

# Nilai awal x0
x0 <- 2.0  # Nilai awal yang dekat dengan akar berlipat ganda

# Panggil metode Newton-Raphson untuk mencari akar
akar <- newton_raphson(f, f_prime, x0)

# Tampilkan hasil
if (!is.null(akar)) {
  cat("Akar berlipat ganda fungsi:", akar, "\n")
} else {
  cat("Solusi tidak ditemukan dalam iterasi yang ditentukan.\n")
}

## Akar berlipat ganda fungsi: 2

CONTOH SOAL 2 kita mencari akar berlipat ganda dari fungsi f(x)=(x−4) 2 dengan menggunakan Metode Newton-Raphson. Kita juga memerlukan turunan fungsi (f ′(x)) untuk menggunakan metode ini. Nilai awal x0 dipilih agar cukup dekat dengan akar berlipat ganda.

# Fungsi yang akan dicari akarnya
f <- function(x) {
  return((x - 4)^2)
}

# Turunan fungsi
f_prime <- function(x) {
  return(2 * (x - 4))
}

# Metode Newton-Raphson
newton_raphson <- function(f, f_prime, x0, tol = 1e-6, max_iter = 100) {
  iter <- 0
  while (iter < max_iter) {
    x1 <- x0 - f(x0) / f_prime(x0)
    if (abs(x1 - x0) < tol) {
      return(x1)  # Solusi ditemukan
    }
    x0 <- x1
    iter <- iter + 1
  }
  return(NULL)  # Solusi tidak ditemukan dalam iterasi yang ditentukan
}

# Nilai awal x0
x0 <- 3.0  # Nilai awal yang dekat dengan akar berlipat ganda

# Panggil metode Newton-Raphson untuk mencari akar
akar <- newton_raphson(f, f_prime, x0)

# Tampilkan hasil
if (!is.null(akar)) {
  cat("Akar berlipat ganda fungsi:", akar, "\n")
} else {
  cat("Solusi tidak ditemukan dalam iterasi yang ditentukan.\n")
}

## Akar berlipat ganda fungsi: 3.999999

Manfaat Metode Pencarian Akar Berganda dalam Kalkulus

Metode Pencarian Akar Berganda penting karena banyak masalah di berbagai bidang ilmu yang melibatkan fungsi yang memiliki akar berlipat ganda. Dalam rekayasa, fisika, ekonomi, dan ilmu lainnya, pemahaman akar berlipat ganda adalah kunci untuk memahami fenomena yang kompleks. Metode ini memungkinkan kita untuk mengidentifikasi, memahami, dan menghitung akar-akar berlipat ganda dalam berbagai konteks.

Kesimpulan

 Metode Pencarian Akar Berganda adalah metode dalam kalkulus yang digunakan untuk menemukan akar-akar fungsi yang mungkin berlipat ganda. Dalam kasus akar berlipat ganda, turunan pertama dan kedua dari fungsi adalah nol di titik tersebut. Penentuan dan pemahaman akar berlipat ganda adalah penting dalam banyak aplikasi ilmiah dan teknis. Meskipun tidak dijelaskan secara eksplisit dalam sumber Stewart (2015), pemahaman konsep ini adalah kunci untuk berhasil dalam menangani akar berlipat ganda.

Sumber

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.