Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Pendahulaun

   Metode Secant adalah metode pencarian akar dalam kalkulus yang berdasarkan prinsip perubahan garis singgung terhadap kurva fungsi.

Pengertian Metode Secant dalam Kalkulus

   Metode Secant adalah metode pencarian akar yang menggunakan garis singgung (secant line) terhadap kurva fungsi untuk mendekati akar (solusi) dari suatu fungsi matematis. Prinsip dasar dari metode ini adalah memperkirakan turunan fungsi dengan garis singgung dan menggunakan garis ini untuk menghitung perkiraan baru dari akar.

Langkah-langkah Metode Secant:

  1. Pemilihan Dua Titik Awal: Metode Secant dimulai dengan pemilihan dua titik awal xo dan x1 yang dekat dengan akar yang ingin ditemukan.

  2. Perhitungan Garis Singgung: Langkah selanjutnya adalah menghitung persamaan garis singgung (secant line) yang melewati kedua titik tersebut. Persamaan garis ini diberikan oleh: y= f(x0)+ f(x1)-f(x0)/xi-x0 (x-x0) dimana y adalah nilai fungsi f(X0) DAN F(X1) Adalah nilai fungsi pada kedua titik awal,xo dan x1 adlah titik awal,dan x adlah variabel independen

  3. Interpolasi Akar: Akar dari fungsi f(x) ditemukan dengan cara mengatur persamaan garis singgung tersebut menjadi 0 dan mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Ini memberikan perkiraan baru dari akar.

  4. Pengecekan Kriteria Berhenti: Iterasi dilanjutkan hingga salah satu dari beberapa kriteria berhenti terpenuhi. Kriteria ini dapat berupa mencapai tingkat akurasi tertentu atau hingga perbedaan antara perkiraan akar pada iterasi berikutnya dan perkiraan sebelumnya menjadi sangat kecil.

  5. Penentuan Akar: Hasil dari iterasi adalah perkiraan akar dari fungsi yang diinginkan. Nilai ini mendekati akar sebenarnya, tergantung pada jumlah iterasi yang dilakukan.

Contoh Soal

Cari nilai x yang memenuhi persamaan berikut hingga tingkat akurasi tertentu dengan menggunakan Metode Secant: f(x)=x3−6x2+11x−6=0 Anda diminta untuk menggunakan Metode Secant dengan dua perkiraan awal x0=1 dan x1=4 untuk mencari nilai akar hingga toleransi 10^−6 .

# Fungsi yang akan dicari akarnya
f <- function(x) {
  return(x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6)
}

# Metode Secant
secant <- function(f, x0, x1, tol = 1e-6, max_iter = 100) {
  iter <- 0
  while (iter < max_iter) {
    x2 <- x1 - (f(x1) * (x1 - x0)) / (f(x1) - f(x0))
    if (abs(x2 - x1) < tol) {
      return(x2)  # Solusi ditemukan
    }
    x0 <- x1
    x1 <- x2
    iter <- iter + 1
  }
  return(NULL)  # Solusi tidak ditemukan dalam iterasi yang ditentukan
}

# Nilai awal x0 dan x1
x0 <- 1
x1 <- 4

# Panggil metode Secant untuk mencari akar
akar <- secant(f, x0, x1)

# Tampilkan hasil
if (!is.null(akar)) {
  cat("Akar fungsi:", akar, "\n")
} else {
  cat("Solusi tidak ditemukan dalam iterasi yang ditentukan.\n")
}
## Akar fungsi: 1

Cari nilai x yang memenuhi persamaan berikut hingga tingkat akurasi tertentu dengan menggunakan Metode Secant: f(x)=e^x−2x−1=0 Anda diminta untuk menggunakan Metode Secant dengan dua perkiraan awal x0=0 dan x 1=1 untuk mencari nilai akar hingga toleransi 10^−5

# Fungsi yang akan dicari akarnya
f <- function(x) {
  return(exp(x) - 2*x - 1)
}

# Metode Secant
secant <- function(f, x0, x1, tol = 1e-5, max_iter = 100) {
  iter <- 0
  while (iter < max_iter) {
    x2 <- x1 - (f(x1) * (x1 - x0)) / (f(x1) - f(x0))
    if (abs(x2 - x1) < tol) {
      return(x2)  # Solusi ditemukan
    }
    x0 <- x1
    x1 <- x2
    iter <- iter + 1
  }
  return(NULL)  # Solusi tidak ditemukan dalam iterasi yang ditentukan
}

# Nilai awal x0 dan x1
x0 <- 0
x1 <- 1

# Panggil metode Secant untuk mencari akar
akar <- secant(f, x0, x1)

# Tampilkan hasil
if (!is.null(akar)) {
  cat("Akar fungsi:", akar, "\n")
} else {
  cat("Solusi tidak ditemukan dalam iterasi yang ditentukan.\n")
}
## Akar fungsi: 0

Manfaat Metode Secant dalam Kalkulus

    Metode Secant adalah metode yang efisien untuk pencarian akar dalam banyak kasus. Keuntungan dari metode ini adalah bahwa ia tidak memerlukan informasi tentang turunan fungsi, sehingga sering digunakan ketika turunan fungsi sulit dihitung. Metode Secant digunakan dalam berbagai aplikasi, termasuk pencarian akar dari persamaan matematis dan pemecahan masalah optimisasi.

Kesimpulan

    Metode Secant adalah metode pencarian akar dalam kalkulus yang menggunakan garis singgung (secant line) terhadap kurva fungsi. Dengan menghitung garis singgung dan menggunakannya untuk interpolasi akar, metode ini dapat mendekati akar dengan efisien. Meskipun tidak dijelaskan secara eksplisit dalam sumber Stewart (2015), pemahaman konsep ini adalah kunci untuk berhasil dalam menggunakan Metode Secant.

Sumber

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.