Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Pendahuluan

     Metode Newton-Raphson adalah salah satu metode yang digunakan dalam zero-finding (pencarian akar) kalkulus yang lebih kompleks dan kuat daripada metode bisection yang lebih sederhana.

Pengertian Metode Newton-Raphson dalam Kalkulus

     Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar yang bergantung pada turunan dari fungsi yang sedang dianalisis. Metode ini digunakan untuk menemukan akar (solusi) dari suatu fungsi matematis. Prinsip dasar dari metode ini adalah mendekati akar dengan mengambil perkiraan awal yang dekat dengan akar tersebut dan melakukan iterasi dengan memperbaiki perkiraan tersebut berdasarkan turunan dari fungsi tersebut.

Langkah-langkah Metode Newton-Raphson:

  1. Pemilihan Titik Awal: Metode Newton-Raphson dimulai dengan pemilihan titik awal x0 yang dekat dengan akar yang ingin ditemukan.

  2. Iterasi: Langkah selanjutnya adalah melakukan iterasi dengan rumus berikut: x n+1 =xn− f (xn)/f’(xn) di mana x n+1 adalah perkiraan akar yang diperbarui pada iterasi berikutnya, xnadalah perkiraan sebelumnya, f(x n) adalah nilai fungsi pada perkiraan sebelumnya, dan f ′(x n) adalah turunan dari fungsi pada perkiraan sebelumnya.

  3. Pengecekan Kriteria Berhenti: Iterasi dilanjutkan hingga salah satu dari beberapa kriteria berhenti terpenuhi. Kriteria ini dapat berupa mencapai tingkat akurasi tertentu atau hingga perubahan antara perkiraan akar pada iterasi berikutnya dan perkiraan sebelumnya menjadi sangat kecil.

  4. Penentuan Akar: Hasil dari iterasi adalah perkiraan akar dari fungsi yang diinginkan. Nilai ini mendekati akar sebenarnya, tergantung pada jumlah iterasi yang dilakukan.

Contoh soal

Cari nilai x yang memenuhi persamaan berikut hingga tingkat akurasi tertentu:f(x)=x3−6x2+11x−6=0 Anda diminta menggunakan Metode Newton-Raphson untuk mencari akar dari persamaan ini dengan toleransi 10^−6 Nilai awal (tebakan awal) yang digunakan adalah x0=2.

# Fungsi yang akan dicari akarnya
f <- function(x) {
  return(x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6)
}

# Turunan fungsi
f_prime <- function(x) {
  return(3*x^2 - 12*x + 11)
}

# Metode Newton-Raphson
newton_raphson <- function(f, f_prime, x0, tol = 1e-6, max_iter = 100) {
  x <- x0
  for (iter in 1:max_iter) {
    x_new <- x - f(x) / f_prime(x)
    if (abs(x_new - x) < tol) {
      return(x_new)  # Solusi ditemukan
    }
    x <- x_new
  }
  return(x)  # Mengembalikan nilai terakhir jika max_iter tercapai
}

# Nilai awal (tebakan awal)
x0 <- 2

# Panggil Metode Newton-Raphson untuk mencari akar
akar <- newton_raphson(f, f_prime, x0)

# Tampilkan hasil
cat("Akar fungsi:", akar, "\n")
## Akar fungsi: 2

Cari nilai x yang memenuhi persamaan berikut hingga tingkat akurasi tertentu:f(x)=x4−2x3-6x^2+10=0 Gunakan Metode Newton-Raphson untuk mencari akar dari persamaan ini dengan toleransi 10^−6 Nilai awal (tebakan awal) yang digunakan adalah x0=2.

# Fungsi yang akan dicari akarnya
f <- function(x) {
  return(x^4 - 2*x^3 - 6*x^2 + 10)
}

# Turunan fungsi
f_prime <- function(x) {
  return(4*x^3 - 6*x^2 - 12*x)
}

# Metode Newton-Raphson
newton_raphson <- function(f, f_prime, x0, tol = 1e-6, max_iter = 100) {
  x <- x0
  for (iter in 1:max_iter) {
    x_new <- x - f(x) / f_prime(x)
    if (abs(x_new - x) < tol) {
      return(x_new)  # Solusi ditemukan
    }
    x <- x_new
  }
  return(x)  # Mengembalikan nilai terakhir jika max_iter tercapai
}

# Nilai awal (tebakan awal)
x0 <- 2

# Panggil Metode Newton-Raphson untuk mencari akar
akar <- newton_raphson(f, f_prime, x0)

# Tampilkan hasil
cat("Akar fungsi:", akar, "\n")
## Akar fungsi: 1.198611

Manfaat Metode Newton-Raphson dalam Kalkulus

   Metode Newton-Raphson adalah metode yang cepat dan konvergen dengan cepat dalam banyak kasus. Keuntungan dari metode ini adalah bahwa ia memanfaatkan informasi tentang tingkat perubahan fungsi melalui turunan. Oleh karena itu, metode ini lebih cocok untuk digunakan ketika kita memiliki pengetahuan tentang tingkat perubahan fungsi di sekitar akar yang ingin ditemukan.

Metode Newton-Raphson digunakan dalam berbagai aplikasi, termasuk:

  1. Pencarian akar dari persamaan matematis.

  2. Pencarian solusi untuk sistem persamaan nonlinier.

  3. Pencarian nilai optimal dalam masalah optimisasi.

  4. Pencarian akar dari persamaan diferensial.

Kesimpulan

    Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar dalam kalkulus yang bergantung pada turunan fungsi. Dengan mengambil perkiraan awal yang dekat dengan akar, metode ini mengggunakan iterasi untuk mendekati akar dengan cepat. Metode ini adalah alat penting dalam analisis matematis dan pemecahan masalah numerik di berbagai bidang ilmu.

Sumber

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.