Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Pendahuluan

  Metode Bisection adalah salah satu metode yang digunakan dalam zero-finding (pencarian akar) kalkulus.

Pengertian Metode Bisection dalam Kalkulus

  Metode Bisection adalah metode pencarian akar yang sederhana dan kuat dalam kalkulus. Ini digunakan untuk menemukan akar (solusi) dari suatu fungsi matematis dalam suatu interval tertentu. Metode ini didasarkan pada prinsip dasar bahwa jika kita tahu bahwa suatu fungsi berubah tanda di dalam interval tertentu, maka di dalam interval itu pasti ada akar dari fungsi tersebut.

Langkah-langkah Metode Bisection:

  1. Penentuan Interval Awal: Metode Bisection dimulai dengan penentuan interval awal yang mengandung akar dari fungsi. Interval ini harus dipilih sedemikian rupa sehingga kita tahu bahwa fungsi berubah tanda di dalam interval tersebut. Interval ini biasanya diberi oleh dua nilai a dan b di mana < a<b.

  2. Pengecekan Tanda Fungsi: Langkah selanjutnya adalah memeriksa tanda fungsi pada nilai a dan b. Jika f(a) dan f(b) berbeda tanda (yaitu f(a)⋅f(b)<0), maka kita tahu bahwa di dalam interval [a,b] pasti terdapat akar fungsi. Jika f(a) dan f(b) memiliki tanda yang sama, kita harus memilih interval awal yang berbeda.

  3. Iterasi Berulang: Selanjutnya, kita membagi interval[a,b] menjadi dua bagian, yaitu[a,(a+b)/2] dan[(a+b)/2,b]. Kemudian, kita memeriksa tanda fungsi di tengah interval tersebut (yaitu pada titik (a+b)/2) dan memilih salah satu subinterval yang berubah tanda (jika ada).

  4. Pemilihan Interval Berikutnya: Iterasi terus berlanjut dengan membagi subinterval yang berubah tanda menjadi dua bagian lagi. Proses ini diulang hingga kita mendekati akar dengan tingkat akurasi yang memadai (misalnya, hingga lebar interval tersebut menjadi cukup kecil).

  5. Penentuan Akar: Akhirnya, hasil dari iterasi adalah perkiraan akar dari fungsi yang diinginkan. Nilai ini berada di dalam interval yang semakin kecil dan mendekati akar sebenarnya.

Manfaat Metode Bisection dalam Kalkulus

  Metode Bisection adalah metode yang sederhana namun kuat untuk pencarian akar dalam kalkulus. Keuntungan dari metode ini adalah bahwa ia konvergen (mendekati solusi) dengan tingkat konvergensi yang dapat diprediksi. Metode ini juga cocok untuk digunakan ketika kita memiliki informasi yang cukup tentang tanda fungsi di dalam interval. Metode Bisection banyak digunakan dalam berbagai aplikasi, termasuk ilmu pengetahuan, rekayasa, ekonomi, dan pemodelan matematika.

Contoh Soal

Cari nilai � x yang memenuhi persamaan berikut hingga tingkat akurasi tertentu: f(x)=x3−2x2−4=0 Anda diminta untuk menggunakan metode Bisection untuk menemukan nilai akar dari persamaan ini dengan toleransi 10^ −6

# Fungsi yang akan dicari akarnya
f <- function(x) {
  return(x^3 - 2*x^2 - 4)
}

# Metode bisection
bisection <- function(f, a, b, tol = 1e-6, max_iter = 100) {
  iter <- 0
  while ((b - a) / 2 > tol && iter < max_iter) {
    c <- (a + b) / 2
    if (f(c) == 0) {
      return(c)  # Solusi ditemukan
    }
    if (f(c) * f(a) < 0) {
      b <- c
    } else {
      a <- c
    }
    iter <- iter + 1
  }
  return((a + b) / 2)
}

# Nilai awal interval [a, b]
a <- 1
b <- 2

# Panggil metode bisection untuk mencari akar
akar <- bisection(f, a, b)

# Tampilkan hasil
cat("Akar fungsi:", akar, "\n")
## Akar fungsi: 1.999999

CONTOH SOAL 2 Cari nilai x yang memenuhi persamaan berikut hingga tingkat akurasi tertentu menggunakan metode Bisection: f(x)=sin(x)−0.5x=0 Anda diminta untuk menggunakan metode Bisection untuk menemukan nilai akar dari persamaan ini dengan toleransi 10^−6 Anda dapat menggunakan implementasi metode Bisection yang telah disediakan dalam contoh sebelumnya dan menggantinya dengan fungsi f(x) yang baru, yaitu f(x)=sin(x)−0.5x, dan memilih interval awal yang sesuai.

# Fungsi yang akan dicari akarnya
f <- function(x) {
  return(sin(x) - 0.5*x)
}

# Metode bisection
bisection <- function(f, a, b, tol = 1e-6, max_iter = 100) {
  iter <- 0
  while ((b - a) / 2 > tol && iter < max_iter) {
    c <- (a + b) / 2
    if (f(c) == 0) {
      return(c)  # Solusi ditemukan
    }
    if (f(c) * f(a) < 0) {
      b <- c
    } else {
      a <- c
    }
    iter <- iter + 1
  }
  return((a + b) / 2)
}

# Nilai awal interval [a, b]
a <- 0
b <- 2 * pi  # Kita mengasumsikan interval adalah [0, 2*pi] karena ini adalah satu periode dari sin(x)

# Panggil metode bisection untuk mencari akar
akar <- bisection(f, a, b)

# Tampilkan hasil
cat("Akar fungsi:", akar, "\n")
## Akar fungsi: 6.283185

Kesimpulan

  Metode Bisection adalah salah satu metode pencarian akar dalam kalkulus yang sederhana dan efektif. Ini didasarkan pada prinsip perubahan tanda fungsi di dalam interval. Dengan membagi interval berulang kali menjadi dua bagian dan memeriksa tanda fungsi, metode ini dapat mendekati akar fungsi dengan tingkat akurasi yang diinginkan. Metode ini adalah alat penting dalam pemecahan masalah matematika dan aplikasi di berbagai bidang.

Sumber

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.