Prueba de hipotésis para una proporción

Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: p\leq 0.3 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p > 0.3 \] Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: p\geq 0.3 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p < 0.3 \] Prueba de dos colas (bilateral)

\[ H_0: p= 0.3 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p \neq 0.3 \] La distribución muestral de la proporción muestral es normal.

Fórmula para calcular el Estadístico

\[Z= \frac{\overline{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \] Fórmula del valor P

\[\text{$P$-valor} \;= \; \begin{cases} P(Z\leq z), & \text{para una prueba de una cola a la izquierda}, \\ & \\ P(Z\geq z), & \text{para una prueba de una cola a la derecha}, \\ &\\ 2\,P(Z\geq |z|),& \text{para una prueba de dos colas}. \end{cases} \]

Ejercicio 1

Se considera que un medicamento que se prescribe comúnmente para aliviar la tensión nerviosa tiene una eficacia de tan sólo 60%. Los resultados experimentales de un nuevo fármaco administrado a una muestra aleatoria de 100 adultos que padecían tensión nerviosa revelaron que 70 de ellos sintieron alivio. ¿Esta evidencia es suficiente para concluir que el nuevo medicamento es mejor que el que se prescribe comúnmente? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

\[ H_0: p\leq 0.6 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p > 0.6 \]

n=100
alpha=0.05
pbarra=0.7  #proporción de la muestra
p=0.6  # proporcion_hipotetica

# Prueba de hipótesis de una proporción
resultado_prueba <- prop.test(x = pbarra*n, n = n, p = p, alternative = "greater")

ES <- sqrt(p*(1-p)/n)  #K) Error estándar (= desviación estándar del estadístico)
z<- (pbarra - p)/ES    #L) Valor de prueba
c=qnorm(1-alpha)
c;z
## [1] 1.644854
## [1] 2.041241
# Mostrar resultados
cat("Resultado de la prueba de hipótesis:\n")
## Resultado de la prueba de hipótesis:
print(resultado_prueba)
## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  pbarra * n out of n, null probability p
## X-squared = 3.7604, df = 1, p-value = 0.02624
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.6
## 95 percent confidence interval:
##  0.6149607 1.0000000
## sample estimates:
##   p 
## 0.7

Decisión: Rechazar \(H_0\) y concluir que el nuevo fármaco es mejor.

Ejercicios 2

  1. Se está considerando utilizar un nuevo aparato de radar para cierto sistema de misiles de defensa. El sistema se verifica experimentando con una aeronave en la que se simula una situación en la que alguien muere y otra en la que no ocurre ninguna muerte. Si en 300 ensayos ocurren 250 muertes, al nivel de significancia de 0.04, acepte o rechace la afirmación de que la probabilidad de una muerte con el nuevo sistema no excede a la probabilidad de 0.8 del sistema que se utiliza actualmente.

h0: p <= 0.8 h1: p > 0.8 b. \[ H_0: p\geq 0.8 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p < 0.8 \]

n=300
x= 250
alpha=0.04
pbarra=x/n  
p=0.8

prop.test(x=250, n=300, p=0.8, alternative = "less")
## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  250 out of 300, null probability 0.8
## X-squared = 1.8802, df = 1, p-value = 0.9148
## alternative hypothesis: true p is less than 0.8
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.8672248
## sample estimates:
##         p 
## 0.8333333
ES <- sqrt(p*(1-p)/n)
z <- (pbarra -p)/ES
c=qnorm(1-alpha)
c;z
## [1] 1.750686
## [1] 1.443376

Ejercicios en clase

  1. Se cree que al menos 60% de los residentes de cierta área están a favor de una demanda de anexión de una ciudad vecina. ¿Qué conclusión extraería si sólo 110 en una muestra de 200 votantes están a favor de la demanda? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

h0: p <= 0.6 h1: p > 0.6 b. \[ H_0: p\geq 0.6 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p < 0.6 \]

prop.test(x=110, n=200, p=0.6, alternative = "greater")
## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  110 out of 200, null probability 0.6
## X-squared = 1.8802, df = 1, p-value = 0.9148
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.6
## 95 percent confidence interval:
##  0.4893588 1.0000000
## sample estimates:
##    p 
## 0.55
n=200
x=110
alpha=0.05
pbarra=x/n
p=0.6

ES <- sqrt(p*(1-p)/n)
z<- (pbarra -p)/ES
c=qnorm(1-alpha)
c;z
## [1] 1.644854
## [1] -1.443376

RESPUESTA: Con una confianza del 94% que más del 60% de los residentes estan a favor de la demanda.

  1. En cierta universidad se estima que a lo sumo 25% de los estudiantes van en bicicleta a la escuela. ¿Parece que ésta es una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitarios, se encuentra que 28 van en bicicleta a la escuela? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

h0: p <= 0.25 h1: p > 0.25 a. \[ H_0: p\leq 0.25 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p > 0.25 \]

prop.test(x=28, n=90, p=0.25, alternative = "less")
## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  28 out of 90, null probability 0.25
## X-squared = 1.4815, df = 1, p-value = 0.8882
## alternative hypothesis: true p is less than 0.25
## 95 percent confidence interval:
##  0.000000 0.401665
## sample estimates:
##         p 
## 0.3111111
n=90
x=28
alpha=0.05
pbarra=x/n
p=0.25

ES <- sqrt(p*(1-p)/n)
z<- (pbarra -p)/ES
c=qnorm(1-alpha)
c;z
## [1] 1.644854
## [1] 1.338877

RESPUESTA: Con una confianza del 95% se puede decir que la proporcion de estudiantes que se van en bicicletas es menor o igual al 25%