DISTRIBUCIÓN NORMAL CON R.

P_17.( Humberto Gutiérrez Pulido(2013).p_57).

Una máquina realiza cortes de manera automática de ciertas tiras metálicas con media μ = 40.1 cm y una desviación estándar de 0.2 cm. La medida óptima de tales tiras debe ser de 40 cm con una tolerancia de más menos 0.5 cm. Suponiendo distribución normal, estime :

  1. la probabilidad de cierta tira sea menor de 39.5 cm
  2. la probabilidad de que sea mayor de 41 cm
  3. la probabilidad para cierta tira entre mas menos una desviacion.
  4. el porcentaje de las tiras que cumple con las especificaciones

caso 1: P(X < x)

  1. P(x < 39.5)

se tiene : u= 40.1 ,  \(\sigma =0.5\)

P(x<39.5) \[P(x< 39.5) \Rightarrow pnorm(39.5,40.1,0.5) \]

pnorm(39.5,40.1,0.5)
## [1] 0.1150697

## para mostrar la parte sombreada o área bajo la curva :P(X<x)

li<- 40.1 - 3*0.5
ls<-40.1 + 3*0.5

x<- seq(38.6,41.6,0.01)       #eje x
y<- dnorm(x,40.1,0.5)       # eje y

plot(x,y, 
     axes = FALSE,  # sin ejes
     col=" blue", 
     type= "l", 
     lwd =0.2,
     xlab = "Tiras de metal (cm)",
     ylab="",
     bty = "n",
     
     xlim= c(38.6,41.6),# Sin caja
     main= " X~ N(40.1,0.5) \n P(x < 39.5")

axis(1)

x<- seq(38.6,39.5,0.01)
y<- dnorm(x,40.1,0.5)
polygon(c(38.6,x,39.5),c(0,y,0),col="red2")

# calculo de la probabilidad

px<- round((pnorm(39.5,40.1,0.5)),4)*100
px
## [1] 11.51
# mostrar el valor de la probabbilidad en el area sombreada

text(39.3,0.08,paste0(px,"%"))

# resaltando elvalor medio

abline(v=40.1, lty = 2,col ="red")

Caso2: P(X > x)

b.- P(X > x) = 1- P(X<= x)

P(x> 41) = 1- P(x<= 41)

1-pnorm(41,40.1,0.5)
## [1] 0.03593032
# De manera directa  se puede calcular la probabilidad
# con el argumento lower.tail= F  . 

pnorm(41,40.1,0.5,lower.tail = F)
## [1] 0.03593032

hacemos el gráfico :

x<- seq(38.6,41.6,0.01)       #eje x
y<- dnorm(x,40.1,0.5)       # eje y

plot(x,y, 
     axes = FALSE,  # sin ejes
     col=" blue", 
     type= "l", 
     lwd =0.2,
     xlab = "Tiras de metal (cm)",
     ylab="",
     bty = "n",
     
     xlim= c(38.6,41.6),# Sin caja
     main= " X~ N(40.1,0.5)")

axis(1)

x<- seq(41,41.6,0.01)
y<- dnorm(x,40.1,0.5)
polygon(c(41,x,41.6),c(0,y,0),col="salmon2")

# calculo de la probabilidad

px<- round((pnorm(41,40.1,0.5,lower.tail = F)),4)*100
px
## [1] 3.59
# mostrar el valor de la probabbilidad en el area sombreada

text(41.2,0.04,paste0(px,"%"))

# resaltando elvalor medio

abline(v=40.1, lty = 2,col ="red")

Caso3: P( a < x < b)

La probabilidad a calcular : P(x < b) - P(x<a)

en nuestro caso: P(x < 40.6 )- P(x< 39.6)

pnorm(40.6,40.1 ,0.5) - pnorm(39.6,40.1 ,0.5)
## [1] 0.6826895

Podemos notar que aproximadamente el 68.27% de las tiras se encuentran en el intervalo de más / menos una desviación estándar.

x<- seq(38.6,41.6,0.01)       #eje x
y<- dnorm(x,40.1,0.5)       # eje y

plot(x,y, 
     axes = FALSE,  # sin ejes
     col=" blue", 
     type= "l", 
     lwd =0.2,
     xlab = "Tiras de metal (cm)",
     ylab="",
     bty = "n",
     
     xlim= c(38.6,41.6),# Sin caja
     main= " X~ N(40.1,0.5)")

axis(1)

x<- seq(39.6,40.6,0.01)
y<- dnorm(x,40.1,0.5)
polygon(c(39.6,x,40.6),c(0,y,0),col="lightblue")

# calculo de la probabilidad

px<- round((pnorm(40.6,40.1 ,0.5) - pnorm(39.6,40.1 ,0.5)),4)*100
px
## [1] 68.27
# mostrar el valor de la probabbilidad en el area sombreada

text(40.1,0.28,paste0(px,"%"))

# resaltando elvalor medio

abline(v=40.1, lty = 2,col ="red")

Caso 4: Dada la probabilidad hallar el valor del cuantil (x)

d.1 Cuando P(X < x ) = 95%

aqui conocemos la probabilidad para un cuantil maximo .podemos encontrar el valor x con la siguiente función:

qnorm(0.95,40.1,0.5)
## [1] 40.92243

El valor x = 40.922, esto se interpreta así: el 95% de las tiras miden menos 40.922 cm

d.2 Cuando :P(X > x) = 0.05

con el argumento lower.tail= F estamos indicando que la probabilidad esta en la cola derecha

qnorm(0.05,40.1,0.5, lower.tail = F)
## [1] 40.92243

se puede decir que el 5% de las tiras miden mas de 40.922 cm

Nota: recuerde que la probabilidad dpende de cada problema. en nuestro caso se supuso 95% y 5%.