Integration & Integral

library(mosaicCalc)

## Loading required package: mosaic

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

## Loading required package: mosaicCore

## 
## Attaching package: 'mosaicCore'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally

## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)

## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Integrasi dalam konteks mosaic calculus melibatkan konsep integral mosaik, yang merupakan generalisasi dari integral Riemann dalam kalkulus konvensional. Integral mosaik memungkinkan kita untuk mengatasi situasi yang lebih kompleks dan umum daripada metode integral klasik. Berikut adalah materi yang berkaitan dengan integrasi dan integral dalam mosaic calculus:

1. Interval Mosaik:
   • Dalam mosaic calculus, kita memulai dengan konsep interval mosaik. Interval mosaik adalah himpunan interval real yang membentuk suatu fungsi. Ini bisa termasuk interval yang bersinggungan, tumpang tindih, atau bahkan interval yang tumpang tindih dengan bagian-bagian yang saling berpotongan.
2. Integral Mosaik:
   • Integral mosaik adalah generalisasi dari integral Riemann. Dalam integral mosaik, kita membagi domain fungsi menjadi berbagai interval mosaik yang tumpang tindih dan menghitung kontribusi integral dari masing-masing interval mosaik tersebut.
3. Properti Integral Mosaik:
   • Integral mosaik memiliki beberapa properti penting:
     • Linearitas: Integral mosaik bersifat linear, artinya integral dari kombinasi linear dari dua fungsi adalah sama dengan kombinasi linear dari integral masing-masing fungsi.
     • Indeks: Integral mosaik memiliki indeks yang memungkinkan perpanjangan domain dan fleksibilitas dalam penggunaan.
     • Perpanjangan Domain: Dalam mosaic calculus, domain integral dapat diperluas untuk mengatasi situasi yang lebih kompleks.
4. Contoh Penggunaan:
   • Mosaic calculus digunakan dalam berbagai bidang matematika dan ilmu pengetahuan, termasuk analisis non-standar, teori bilangan, dan dalam memodelkan fenomena yang sulit dijelaskan oleh integral Riemann. Misalnya, dalam teori bilangan, integral mosaik dapat digunakan untuk menggambarkan distribusi singularitas.
5. Perbandingan dengan Integral Riemann:
   • Integral Riemann adalah kasus khusus dari integral mosaik ketika interval mosaik adalah interval terbuka yang tidak tumpang tindih. Integral Riemann lebih cocok untuk kasus fungsi yang lebih sederhana, sedangkan integral mosaik memberikan alat yang lebih umum.
6. Kesimpulan:
   • Mosaic calculus adalah alat matematis yang kuat untuk memahami integral dalam konteks yang lebih umum dan fleksibel daripada kalkulus konvensional. Integral mosaik adalah komponen kunci dalam pendekatan ini, dan dapat digunakan untuk memecahkan berbagai masalah dalam matematika dan ilmu pengetahuan yang melibatkan fungsi kompleks atau domain yang kompleks.

tmp <- rfun(~ t, seed=982)
tmp2 <- rfun(~ t, seed = 2932)
tmp3 <- rfun(~ t, seed = 43)
windspeed <- function(t) {
  abs(tmp((t - 5)*3) + tmp2((t - 10)*2) + tmp3((t - 15)*4))
}
speed2power <- function(s) {
  pmin(ifelse(s < 5, 0, (s-2)^3), 5000)
}


slice_plot(windspeed(t) ~ t, bounds(t=c(0, 24)))