# VISUALISASI GRAFIK METODE NUMERIK # 
library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Numerical zero-finding atau metode numerik adalah pendekatan dalam matematika komputasi yang bertujuan untuk menemukan nilai nol dari suatu fungsi matematika dengan menggunakan metode-metode numerik. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi metode-metode tersebut melalui pendekatan visual menggunakan Mosaic Calculus.

1. Metode Pencarian Interval:
Metode pencarian interval adalah metode numerik yang mencari interval di mana fungsi berubah tanda. Dalam contoh ini, kita akan mencari nilai nol dari fungsi\(f(x) = sin(x) - x/2\) menggunakan metode pencarian interval.
GRAFIK 1 METODE PENCARIAN INTERVAL :
r # Menginstal dan memuat paket yang diperlukan install.packages("ggplot2")
## Warning: package 'ggplot2' is in use and will not be installed
```r library(ggplot2)
# Fungsi yang akan dicari nilai nolnya fungsi <- function(x) { return(sin(x) - x/2) }
# Tentukan rentang nilai x x <- seq(0, 3, length.out = 1000)
# Hitung nilai fungsi pada setiap titik dalam rentang x y <- fungsi(x)
# Tentukan interval di mana fungsi berada di atas sumbu x (nilai positif) interval_positif <- subset(data.frame(x = x, y = y), y > 0)
# Tentukan interval di mana fungsi berada di bawah sumbu x (nilai negatif) interval_negatif <- subset(data.frame(x = x, y = y), y < 0)
# Buat grafik Metode Pencarian Interval ggplot() + geom_area(data = interval_positif, aes(x = x, y = y), fill = “skyblue”, alpha = 0.5) + geom_area(data = interval_negatif, aes(x = x, y = y), fill = “pink”, alpha = 0.5) + geom_hline(yintercept = 0, color = “black”, linetype = “dashed”) + ggtitle(“Metode Pencarian Interval”) + xlab(“Nilai x”) + ylab(“Nilai f(x)”) ```
Penjelasan grafik :
Pada grafik di atas, area yang diarsir menunjukkan interval di mana fungsi berubah tanda. Dengan mencari interval-interval semacam ini, kita dapat mempersempit pencarian nilai nol fungsi.
2. Metode Titik Tetap (Fixed-Point Iteration):
Metode titik tetap adalah metode numerik yang mencari titik tetap dari suatu fungsi iteratif \(g(x)\). Dalam contoh ini, kita akan mencari nilai nol dari fungsi \(f(x) = x^2 - 3\) menggunakan metode titik tetap.
GRAFIK 2 METODE TITIK TETAP :
r # Menginstal dan memuat paket yang diperlukan install.packages("ggplot2")
## Warning: package 'ggplot2' is in use and will not be installed
```r library(ggplot2)
# Fungsi iteratif untuk metode titik tetap fungsi_iteratif <- function(x) { return(sqrt(3 + x)) }
# Nilai awal x <- 1.5
# Jumlah iterasi n <- 10
# Persiapkan data untuk plot iterasi data <- data.frame(iterasi = numeric(n), nilai = numeric(n)) data\(iterasi[1] <- 1 data\)nilai[1] <- x
# Iterasi metode titik tetap for (i in 2:n) { data\(iterasi[i] <- i data\)nilai[i] <- fungsi_iteratif(data$nilai[i - 1]) }
# Buat grafik Metode Titik Tetap ggplot(data, aes(x = iterasi, y = nilai)) + geom_point(color = “red”, size = 3) + geom_line(color = “blue”) + ggtitle(“Metode Titik Tetap”) + xlab(“Iterasi”) + ylab(“Nilai Aproksimasi Nol”) ```
Penjelasan grafik :

Pada grafik di atas, garis biru mewakili grafik fungsi iteratif $y = g(x)= $ akar dari 3 + 2. titik dimana grafik ini memotong garis memotong garis \(y = x\) adalah titik tetap dari fungsi \(f(x)\), dengan iterasi, kita akan mendekati nol fungsi

  1. Metode Newton-Raphson:

Metode Newton-Raphson adalah metode numerik yang menggunakan derivatif untuk mendekati nilai nol suatu fungsi. Dalam contoh ini, kita akan mencari nilai nol dari fungsi \(f(x)= cos(x) - x\) menggunakan metode Newton-Raphson.

Grafik 3: Metode Newton-Raphson :

# Menginstal dan memuat paket yang diperlukan
install.packages("ggplot2")
## Warning: package 'ggplot2' is in use and will not be installed
library(ggplot2)

# Fungsi dan turunannya
fungsi <- function(x) {
  return(cos(x) - x)
}
turunan <- function(x) {
  return(-sin(x) - 1)
}

# Nilai awal
x <- 1

# Jumlah iterasi
n <- 5

# Persiapkan data untuk plot iterasi
data <- data.frame(iterasi = numeric(n), nilai = numeric(n))
data$iterasi[1] <- 1
data$nilai[1] <- x

# Iterasi metode Newton-Raphson
for (i in 2:n) {
  data$iterasi[i] <- i
  data$nilai[i] <- data$nilai[i - 1] - fungsi(data$nilai[i - 1]) / turunan(data$nilai[i - 1])
}

# Buat grafik Metode Newton-Raphson
ggplot(data, aes(x = iterasi, y = nilai)) +
  geom_point(color = "red", size = 3) +
  geom_line(color = "blue") +
  ggtitle("Metode Newton-Raphson") +
  xlab("Iterasi") +
  ylab("Nilai Aproksimasi Nol")

Penjelasan Grafik :

Dalam grafik ini, titik merah menunjukkan nilai aproksimasi nol pada setiap iterasi, dan garis biru menunjukkan jalur aproksimasi sepanjang iterasi. Grafik ini mencerminkan pendekatan linear dari metode Newton-Raphson yang mendekati nilai nol dengan cepat.

Melalui visualisasi-grafik berbasis Mosaic Calculus seperti contoh di atas, pembaca dapat memahami metode-metode numerik zero-finding dengan lebih mendalam. Dengan visualisasi ini, kompleksitas metode numerik dapat diuraikan menjadi konsep-konsep intuitif, membantu pembaca memahami bagaimana pendekatan-pendekatan ini beroperasi dalam praktiknya.