Introdução

Um modelo de equação simultânea é um modelo estatístico na forma de um conjunto de equações lineares simultâneas. Eles diferem dos modelos de regressão regulares porque existem duas ou mais variáveis dependentes. Um uso comum para esses tipos de modelos é estimar a oferta e a demanda.

Por razões que serão explicadas nesta aula, utilizar a regressão linear para estimar os parâmetros de um conjunto de equações de oferta e demanda não é o ideal. Em vez disso, pode-se estimar os parâmetros de um conjunto simultâneo de equações de oferta e demanda usando estimativa de mínimos quadrados em dois estágios.

As funções de Oferta e Demanda

Um dos primeiros conceitos que todo aluno aprende em seu curso introdutório à economia é o conceito de oferta e demanda. É um dos pilares da economia moderna. Vamos revisitar esse conceito. Considere as seguintes funções de oferta e demanda

\[ \begin{aligned} \text{Oferta: } & Q = \beta_{1}P + \epsilon_{s} \\ \text{Demanda: } & Q = \alpha_{1}P + \alpha_{2}I + \epsilon_{d} \end{aligned} \]

Neste modelo simultâneo, as variáveis \(P\) e \(Q\) são variáveis endógenas porque seus valores são determinados dentro do sistema. A variável \(I\), que denota renda na equação de demanda, é uma variável exógena porque seu valor é determinado fora do sistema. Tanto \(P\) quanto \(Q\) são variáveis dependentes e são aleatórias.

Erros aleatórios são adicionados às equações pelas razões usuais e têm as mesmas propriedades de mínimos quadrados

\[ \begin{aligned} E(\epsilon_{d}) = 0 && \text{var}(\epsilon_{d}) = \sigma_{d}^{2} && E(\epsilon_{s}) = 0 && \text{var}(\epsilon_{s}) = \sigma_{s}^{2} && \text{cov}(\epsilon_{d}, \epsilon_{s}) = 0 \end{aligned} \]

A falha dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO)

Alguém poderia pensar que estimar cada equação de oferta e demanda individualmente usando mínimos quadrados lhe daria as estimativas de parâmetros adequadas. Infelizmente, este não é o caso. Um problema é que a variável endógena \(P\) na equação de oferta está correlacionada com o seu termo de erro \(\epsilon_{s}\), que, se você estiver curioso, demonstrarei no Apêndice. Essencialmente, o fracasso dos mínimos quadrados da equação de oferta se deve ao fato de que a relação entre \(Q\) e \(P\) dá crédito ao preço (\(P\)) pelo efeito das mudanças no termo de erro \(\epsilon_{s}\). Isto acontece porque não observamos a mudança no termo de erro, mas apenas a mudança em \(P\) devido à sua correlação com o termo de erro \(\epsilon_{s}\). O estimador de mínimos quadrados \(\beta_{1}\) subestimará o verdadeiro valor do parâmetro neste modelo devido à correlação negativa entre a variável endógena \(P\) e seu termo de erro \(\epsilon_{s}\).

O problema de identificação

Em nosso modelo de oferta e demanda:

Figura 1: O efeito da mudança de renda

Os parâmetros da equação de demanda \(\alpha_{1}\) e \(\alpha_{2}\) não podem ser estimados consistentemente por nenhum método de estimativa. A inclinação da equação de oferta \(\beta_{1}\) pode ser estimada de forma consistente. Para tornar estas afirmações claras, vamos supor que o nível de rendimento \(I\) mude. A curva da procura muda e novos preços e quantidades de equilíbrio são criados.

A Figura 1 mostra as curvas de demanda \(d_{1}\), \(d_{2}\) e \(d_{3}\) e os equilíbrios nos pontos \(a\), \(b\) e \(c\), para os três níveis de renda. À medida que o rendimento muda, os dados sobre o preço \(P\) e a quantidade \(Q\) serão observados em torno das intersecções da oferta e da procura. Os termos de erro aleatório \(\epsilon_{s}\) e \(e_{d}\) causam pequenas mudanças nas curvas de oferta e demanda, criando observações de equilíbrio sobre preço e quantidade que estão espalhadas pelas interseções nos pontos \(a\), \(b\) e \(c\). O problema é que à medida que o rendimento muda, a curva da procura muda, mas a curva da oferta permanece inalterada, resultando em observações ao longo da curva da oferta. Não há valores de dados caindo ao longo de nenhuma das curvas de demanda e não há como estimar sua inclinação! Assim, qualquer uma das curvas de demanda que passa pelos pontos de equilíbrio poderia estar correta. Através dos dados, não há como distinguir a verdadeira curva da procura das restantes.

O problema está no modelo que estamos usando. Falta uma variável na função de oferta que a desloque em relação à curva de demanda. Se adicionássemos uma variável à curva de oferta, cada vez que essa variável mudasse, a curva de oferta mudaria e a curva de demanda permaneceria fixa. A mudança resultante da curva de oferta para uma curva de demanda fixa criaria observações de equilíbrio ao longo da curva de demanda, tornando possível estimar a inclinação da curva de demanda e possibilitando estimar a inclinação da curva de demanda e o efeito da renda sobre demanda.

A equação na forma reduzida

Nossas funções de oferta e demanda que foram introduzidas pela primeira vez na Seção 1 podem ser resolvidas para expressar as variáveis endógenas \(P\) e \(Q\) em função das variáveis exógenas I. Essa transformação do modelo é chamada de forma reduzida do sistema de equações estruturais. Primeiro, vamos revisitar nossos modelos de oferta e demanda

\[ \begin{aligned} \text{Oferta: } & Q = \beta_{1}P + \epsilon_{s} \\ \text{Demanda: } & Q = \alpha_{1}P + \alpha_{2}I + \epsilon_{d} \end{aligned} \]

Para resolver nossas variáveis endógenas \(P\) e \(Q\), definimos as funções de oferta e demanda iguais entre si para obter

\[ \begin{aligned} \beta_{1}P + \epsilon_{s} = \alpha_{1}P + \alpha_{2}I + \epsilon_{d} \end{aligned} \]

Então podemos resolver \(P\)

\[ \begin{aligned} \beta_{1}P - \alpha_{1}P &= \alpha_{2}I + \epsilon_{d} - \epsilon_{s} \\ P &= \frac{\alpha_{2}I + \epsilon_{d} - \epsilon_{s}}{(\beta_{1} - \alpha_{1})} \\ &= \bigg[\frac{\alpha_{2}}{(\beta_{1} - \alpha_{1})}\bigg]I + \frac{\epsilon_{d} - \epsilon_{s}}{ (\beta{1} - \alpha_{1})} \\ &= \pi_{1}X + v_{1} \end{aligned} \]

Em seguida, resolva \(Q\) adicionando \(P\) à equação de oferta

\[ \begin{aligned} Q &= \beta_{1}P + \epsilon_{s} \\ & = \beta_{1}\bigg[\frac{\alpha_{2}}{(\beta_{1} - \alpha_{1})}I + \frac{\epsilon_{d} - \epsilon_{s} }{(\beta_{1} - \alpha_{1})} \bigg] + \epsilon_{s} \\ & = \frac{\beta_{1}\alpha_{1}}{(\beta_{1} - \alpha_{1})}I + \frac{\beta_{1}\epsilon_{d}-\epsilon_{ s}}{(\beta_{1} - \alpha_{1})} \\ & = \pi_{2}X + v_{2} \end{aligned} \]

Os parâmetros \(\pi_{1}\) e \(\pi_{2}\) são chamados de parâmetros de forma reduzida e os termos de erro \(v_1\) e \(v_2\) são chamados de erros de forma reduzida.

As equações de forma reduzida podem ser estimadas consistentemente por mínimos quadrados. A variável explicativa \(X\) é determinada fora do sistema. Não está correlacionado com \(v_1\) e \(v_2\), ambos com as propriedades usuais de média zero, variância constante e covariância zero.

As equações de forma reduzida são importantes para a análise econômica. Estas equações igualam os valores de equilíbrio das variáveis endógenas às variáveis exógenas. Assim, se houver um aumento na renda \(I\), \(\pi_{1}\) é o aumento esperado no preço \(P\) após os ajustes de mercado levarem a um novo equilíbrio para \(P\) e \(Q\). As equações de forma reduzida estimadas podem ser usadas para prever os valores de preço e quantidade de equilíbrio para diferentes níveis de renda.

Estimativa de Mínimos Quadrados em Dois Estágios (MQ2E)

A estimativa de mínimos quadrados em dois estágios é o método mais amplamente utilizado para estimar parâmetros para equações estruturais identificadas. Lembre-se de que não podemos aplicar mínimos quadrados para estimar \(\beta_{1}\) porque a variável endógena \(P\) no lado direito da equação está correlacionada com seu termo de erro \(\epsilon_{s}\).

A variável \(P\) é composta por duas componentes: uma parte sistemática \(E[P]\) (seu valor esperado) e uma componente aleatória \(v_{1}\), que é o erro de forma reduzida. Assim, P pode ser expresso como

\[ \begin{aligned} P = E[P] + v_{1} = \pi_{1}X + v_{1} \end{aligned} \]

\(v_{1}\) na equação acima é o que causa problemas para \(P\). É \(v_{1}\) que faz com que \(P\) seja correlacionado com o termo de erro \(\epsilon_{s}\). No entanto, suponha que soubéssemos o valor de \(\pi_{1}\). Então, poderíamos substituir \(P\) em nossa equação de oferta original por

\[ \begin{aligned} Q &= \beta_{1}\big[E(P) + v_{1}\big] + \epsilon_{s} \\ &= \beta_{1}E(P) + \big(\beta_{1}v_{1} + \epsilon_{s}\big) \end{aligned} \]

Infelizmente, não podemos usar \(E(P)=\pi_{1}X\) no lugar de \(P\) porque não sabemos o valor de \(\pi_{1}\). No entanto, podemos estimar \(\pi_{1}\) usando sua estimativa \(\hat{\pi}_{1}\) da equação de forma reduzida para \(P\). Um estimador consistente para \(E(P)\) é

\[ \begin{aligned} \hat{P} = \hat{\pi}_{1}X \end{aligned} \]

Usando \(\hat{P}\) em vez de \(E(P)\), podemos obter

\[ \begin{aligned} Q = \beta_{1}\hat{P} + \epsilon_{s} \end{aligned} \]

Para resumir o procedimento:

1. Estimativa de mínimos quadrados da equação de forma reduzida para \(P\) e cálculo do seu valor previsto \(\hat{P}\).
2. Estimativa de mínimos quadrados da equação estrutural em que o lado direito da variável endógena \(P\) é substituído pelo seu estimador \(\hat{P}\).

## O procedimento geral de estimativa de mínimos quadrados em dois estágios

Em um sistema de \(M\) equações simultâneas, sejam \(y_{1},y_{2}, \ldots, y_{M}\) as variáveis endógenas, e sejam \(K\) variáveis exógenas denotadas por \(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{K}\). Suponhamos que a primeira equação estrutural dentro deste sistema seja

\[ \begin{aligned} y_{1} = \alpha_{2}y_{2} + \alpha_{3}y_{3} + \beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \epsilon_{1} \end{aligned} \]

Se esta equação for identificada, então seus parâmetros podem ser estimados em duas etapas

1. Estime os parâmetros das equações de forma reduzida por mínimos quadrados

\[ \begin{aligned} y_{2} = \pi_{12}x_{1} + \pi_{22}x_{2} + \ldots + \pi_{K2}x_{K} + v_{2} \\ y_{3} = \pi_{13}x_{1} + \pi_{23}x_{2} + \ldots + \pi_{K3}x_{K} + v_{3} \end{aligned} \]

e obtenha os valores previstos

\[ \begin{aligned} \hat{y}_{2} = \hat{\pi}_{12}x_{1} + \hat{\pi}_{22}x_{2} + \ldots + \hat{\pi}_ {K2}x_{K} \\ \hat{y}_{3} = \hat{\pi}_{13}x_{1} + \hat{\pi}_{23}x_{2} + \ldots + \hat{\pi}_ {K3}x_{K} \end{aligned} \]

2. Substitua as variáveis endógenas \(y_{2}\) e \(y_{3}\) no lado direito da equação estrutural pelos seus valores previstos

\[ \begin{aligned} y_{1} = \alpha_{2}\hat{y}_{2} + \alpha_{3}\hat{y}_{3} + \beta_{1}x_{1} + \beta_{2} x_{2} + \epsilon_{1}^{*} \end{aligned} \]

Aplicação de Equações Simultâneas

Para o nosso exercício, vamos utilizar a base construída por Kmenta (1986) para ilustrar a estimação do modelo de equações simultâneas. Precisamos também carregar o pacote systemfit.

library(systemfit)
data("Kmenta")

head(Kmenta)

##   consump   price income farmPrice trend
## 1  98.485 100.323   87.4      98.0     1
## 2  99.187 104.264   97.6      99.1     2
## 3 102.163 103.435   96.7      99.1     3
## 4 101.504 104.506   98.2      98.1     4
## 5 104.240  98.001   99.8     110.8     5
## 6 103.243  99.456  100.5     108.2     6

As equações de Oferta e Demanda são

\[ \begin{aligned} \text{Oferta: } & consump_{i} = \beta_{1} + \beta_{2}price_{i} + \beta_{3}farm\_price_{i} + \beta_{4}trend_{i} + \epsilon_{si} \\ \text{Demanda: } & consump_{i} = \alpha_{1} + \alpha_{2}price_{i} + \alpha_{3}income_{i} + \epsilon_{di} \end{aligned} \]

q_demanda_OLS <- lm(consump ~ price + income, data = Kmenta)
q_demanda_OLS

## 
## Call:
## lm(formula = consump ~ price + income, data = Kmenta)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)        price       income  
##     99.8954      -0.3163       0.3346

q_oferta_OLS <- lm(consump ~ price + farmPrice + trend, data = Kmenta)
q_oferta_OLS

## 
## Call:
## lm(formula = consump ~ price + farmPrice + trend, data = Kmenta)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)        price    farmPrice        trend  
##     58.2754       0.1604       0.2481       0.2483

# Step 1. Estimate reduced-form parameters
q_hat <- lm(consump ~ income + farmPrice + trend, data = Kmenta)
p_hat <- lm(price ~ income + farmPrice + trend, data = Kmenta)

summary(p_hat)

## 
## Call:
## lm(formula = price ~ income + farmPrice + trend, data = Kmenta)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.5022 -0.9058 -0.2433  0.7077  2.9569 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 90.26776    3.29931  27.360 7.29e-15 ***
## income       0.66321    0.04142  16.011 2.86e-11 ***
## farmPrice   -0.48845    0.03802 -12.847 7.61e-10 ***
## trend       -0.73704    0.07527  -9.792 3.67e-08 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.536 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9434, Adjusted R-squared:  0.9328 
## F-statistic: 88.94 on 3 and 16 DF,  p-value: 3.412e-10

summary(q_hat)

## 
## Call:
## lm(formula = consump ~ income + farmPrice + trend, data = Kmenta)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.2653 -1.4200  0.3986  1.2724  2.8857 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 71.20355    4.62636  15.391 5.19e-11 ***
## income       0.15922    0.05808   2.741   0.0145 *  
## farmPrice    0.13834    0.05331   2.595   0.0195 *  
## trend        0.07598    0.10554   0.720   0.4820    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.154 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7232, Adjusted R-squared:  0.6713 
## F-statistic: 13.93 on 3 and 16 DF,  p-value: 9.993e-05

# Step 2. Use the predicted value of P and plug into the right-hand side of the structural equations. 
Kmenta$p_hat <- p_hat$fitted.values
demand_lm <- lm(consump ~ p_hat + income, data = Kmenta)
supply_lm <- lm(consump ~ p_hat + farmPrice + trend, data = Kmenta)

summary(demand_lm)

## 
## Call:
## lm(formula = consump ~ p_hat + income, data = Kmenta)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.8102 -1.6245  0.0392  1.6953  2.8552 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 94.63330    8.95550  10.567 6.86e-09 ***
## p_hat       -0.24356    0.10909  -2.233   0.0393 *  
## income       0.31399    0.05308   5.916 1.69e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.223 on 17 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6866, Adjusted R-squared:  0.6497 
## F-statistic: 18.62 on 2 and 17 DF,  p-value: 5.208e-05

summary(supply_lm)

## 
## Call:
## lm(formula = consump ~ p_hat + farmPrice + trend, data = Kmenta)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.2653 -1.4200  0.3986  1.2724  2.8857 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 49.53244   10.52580   4.706 0.000238 ***
## p_hat        0.24008    0.08758   2.741 0.014493 *  
## farmPrice    0.25561    0.04141   6.173 1.34e-05 ***
## trend        0.25292    0.08734   2.896 0.010528 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.154 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7232, Adjusted R-squared:  0.6713 
## F-statistic: 13.93 on 3 and 16 DF,  p-value: 9.993e-05

Aplicação de Equações Simultâneas através do pacote systemfit

Felizmente, há um pacote de mínimos quadrados de dois estágios disponível no R que facilita muito a estimativa de nossas equações estruturais. Requer a instalação do pacote systemfit e o uso da função systemfit(). Você passa uma equação de oferta e demanda junto com as variáveis exógenas e ela gera automaticamente as equações estimadas para seus modelos estruturais.

eqDemand <- consump ~ price + income
eqSupply <- consump ~ price + farmPrice + trend
inst <- ~income + farmPrice + trend

system <- list(demand = eqDemand, supply = eqSupply)

fitOls <- systemfit(system, data = Kmenta)
round(coef(summary(fitOls)), digits = 4)

##                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## demand_(Intercept)  99.8954     7.5194 13.2851   0.0000
## demand_price        -0.3163     0.0907 -3.4882   0.0028
## demand_income        0.3346     0.0454  7.3673   0.0000
## supply_(Intercept)  58.2754    11.4629  5.0838   0.0001
## supply_price         0.1604     0.0949  1.6901   0.1104
## supply_farmPrice     0.2481     0.0462  5.3723   0.0001
## supply_trend         0.2483     0.0975  2.5462   0.0216

# 2SLS estimation:
fit2sls <- systemfit(system, method = "2SLS", inst = inst, data = Kmenta)
round(coef(summary(fit2sls)), digits = 4)

##                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## demand_(Intercept)  94.6333     7.9208 11.9474   0.0000
## demand_price        -0.2436     0.0965 -2.5243   0.0218
## demand_income        0.3140     0.0469  6.6887   0.0000
## supply_(Intercept)  49.5324    12.0105  4.1241   0.0008
## supply_price         0.2401     0.0999  2.4023   0.0288
## supply_farmPrice     0.2556     0.0473  5.4096   0.0001
## supply_trend         0.2529     0.0997  2.5380   0.0219

# 2SLS estimation:
fit3sls <- systemfit(system, method = "3SLS", inst = inst, data = Kmenta)
round(coef(summary(fit3sls)), digits = 4)

##                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## demand_(Intercept)  94.6333     7.9208 11.9474   0.0000
## demand_price        -0.2436     0.0965 -2.5243   0.0218
## demand_income        0.3140     0.0469  6.6887   0.0000
## supply_(Intercept)  52.1972    11.8934  4.3888   0.0005
## supply_price         0.2286     0.0997  2.2934   0.0357
## supply_farmPrice     0.2282     0.0440  5.1861   0.0001
## supply_trend         0.3611     0.0729  4.9546   0.0001