Derivatif dan optimasi
Kita sekarang akan menyusun ulang pencarian argmax dan interpretasinya dalam bentuk turunan fungsi tujuan sehubungan dengan kuantitas keputusan (dalam soal ketapel). Untuk fungsi dengan satu masukan, ini tidak akan menjadi perbaikan dari teknik melihat grafik untuk mencari argmax. Namun, alasan sebenarnya menggunakan turunan adalah untuk mempersiapkan kita di masa depan untuk memecahkan masalah dengan lebih dari satu masukan, yang sulit untuk menggambar atau menafsirkan grafik. Selain itu, mendeskripsikan fungsi dalam bahasa turunan dapat membantu kita berpikir lebih jernih tentang aspek masalah, seperti ketepatan argmax.
Dengan grafik seperti Gambar 24.1 , mudah untuk mencari argmax; akal sehat membawa hari ini. Jadi pada awalnya tidak jelas mengapa kami mengambil pendekatan berikut:
Mari kita nyatakan argmax dari fungsi tujuan f(x) oleh x^. Mari kita lihat turunannya _x f(x) di lingkunganx^. Mengacu pada Gambar 24.1 , dimana x^= 45^, Anda mungkin dapat melihatnya _x f(x^) adalah nol; garis singgung grafik fungsi di x^adalah horisontal.
Dilihat dari sisi lain, kemiringanf(x) di sebelah kiri x^positif. Bergerak sedikit ke kanan (yaitu bertambah x dengan jumlah yang sangat kecil) meningkatkan output f(x) . Di sisi lain, tepat di sebelah kanan x^kemiringan f(x) negatif; saat Anda mencapai puncak bukit dan melanjutkan perjalanan, Anda akan menuruni bukit. Jadi turunan fungsi tersebut positif pada salah satu sisinya x^dan negatif di sisi lain, menunjukkan bahwa ia melewati nol pada argmax.
Akal sehatnya benar: Berjalan menanjak untuk mencapai puncak, berjalan menuruni bukit untuk menjauh dari puncak. Di puncak bukit yang mulus, medannya datar. (Karena fungsi pemodelan kita halus, maka bukit tempat kita memvisualisasikan fungsinya juga harus halus.)
masukan x^seperti yang _x f(x^) = 0 disebut titik kritis . Mengapa tidak menyebutnya sebagai argmax saja? Karena kemiringannya juga akan menjadi nol pada suatu argumen. Dan bahkan dimungkinkan untuk memiliki kemiringan nol pada titik yang bukan merupakan argmin atau argmax.
Pada titik ini, kita mengetahui nilai-nilai itu x^itu memberi _x f(x^) = 0 adalah “titik kritis”, namun kita belum menjelaskan cara mengetahui apakah titik kritis tertentu merupakan argmax, argmin, atau bukan keduanya. Di sinilah perilakunya _x f(x) di dekat x=x^penting. Jikax^adalah argmax, kalau begitu _x f(x) akan positif di sebelah kiri x^dan negatif di sebelah kanan x^; berjalan ke atas bukit untuk sampai ke sana x^, di puncak bukitnya datar, dan setelah melewati puncak bukit tersebut kemiringannya negatif.
Untuk argumen, berubah x dari kurang dari x^menjadi lebih besar dari x^; Anda akan berjalan turun ke lembah, lalu meratakan diri di bagian paling bawah x=x^, lalu kembali ke sisi lain lembah setelah Anda melewatinya x=x^.
Baris bawah grafik pada Gambar 24.3 menunjukkan turunan fungsi tujuan f(x) adalah _x f(x) . Anda dapat melihatnya untuk argmax f(x) , turunannya _x f(x) positif ke kiri dan negatif ke kanan. Demikian pula, di dekat argumen f(x) turunannya _x f(x) negatif ke kiri dan positif ke kanan.
Dengan kata lain, turunan _x f(x) memiliki kemiringan negatif di sebelah kiri argmin dan kemiringan positif di sebelah kiri argmax.
Turunan kedua dari fungsi tujuan f(x) pada titik kritis x^adalah apa yang memberitahu kita apakah titik kritisnya adalah argmax, argmin, atau bukan keduanya.