Diferensiasi Mundur

library(mosaicCalc)

## Loading required package: mosaic

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

## Loading required package: mosaicCore

## 
## Attaching package: 'mosaicCore'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally

## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)

## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Diferensiasi Mundur (Backward Difference) adalah salah satu teknik diferensiasi numerik yang digunakan untuk menghitung turunan suatu fungsi dengan menggunakan data diskrit atau titik-titik pengukuran. Teknik ini berguna ketika kita ingin memperkirakan turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu tanpa memiliki ekspresi matematis eksplisit untuk fungsi tersebut. Dalam konteks Mosaic Calculus, Diferensiasi Mundur dapat digunakan untuk mengukur perubahan dalam data diskrit atau untuk mendekati turunan fungsi diskrit. Berikut adalah informasi mengenai Diferensiasi Mundur:

Rumus Diferensiasi Mundur (Backward Difference): Dalam Diferensiasi Mundur, turunan suatu fungsi \(f(x)\) pada titik \(x\) dihitung dengan mengambil selisih nilai fungsi pada titik \(x\) dengan nilai fungsi pada titik sebelumnya, yaitu \(x - h\), dan kemudian dibagi dengan langkah diferensiasi \((h)\).

\(f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x - h)}{h}\)

Dalam rumus di atas, \(f'(x)\) adalah perkiraan turunan dari fungsi \(f(x)\) pada titik \(x\), \(h\) adalah langkah diferensiasi yang merupakan jarak antara titik \(x\) dan \(x - h\), dan \(f(x)\) dan \(f(x - h)\) adalah nilai fungsi pada titik \(x\) dan \(x - h\) masing-masing.

Langkah-langkah Diferensiasi Mundur: 1. Pilih titik \(x\) pada fungsi \(f(x)\) tempat Anda ingin menghitung turunan. 2. Tentukan langkah diferensiasi (\(h\)), yang merupakan jarak antara titik \(x\) dan \(x - h\). 3. Hitung nilai fungsi pada titik \(x\), yaitu \(f(x)\). 4. Hitung nilai fungsi pada titik \(x - h\), yaitu \(f(x - h)\). 5. Gunakan rumus diferensiasi mundur untuk menghitung perkiraan turunan \(f'(x)\) pada titik \(x\) dengan membagi selisih \(f(x) - f(x - h)\) dengan \(h\).

Keuntungan dan Keterbatasan Diferensiasi Mundur:

Keuntungan dari metode diferensiasi mundur adalah kesederhanaan perhitungannya. Namun, ada beberapa keterbatasan yang perlu dipertimbangkan:

• Dalam beberapa kasus, metode ini bisa memberikan hasil yang kurang akurat jika \(h\) terlalu besar atau jika fungsi memiliki perubahan yang sangat cepat pada interval \(h\).
• Kesalahan dalam diferensiasi mundur biasanya meningkat seiring dengan peningkatan \(h\). Oleh karena itu, pemilihan \(h\) yang tepat penting untuk mendapatkan hasil yang akurat.
• Diferensiasi mundur biasanya cocok untuk data yang diukur secara diskrit atau pada titik-titik tertentu. Untuk data yang kontinu, metode diferensiasi lain seperti diferensiasi sentral mungkin lebih tepat.

# Memuat library yang diperlukan
library(ggplot2)

# Fungsi yang ingin kita hitung turunannya
f <- function(x) {
  return(x^2 - 4)
}

# Membuat rentang nilai x
x_vals <- seq(-10, 10, by = 0.1)

# Menghitung nilai y dari fungsi
y_vals <- sapply(x_vals, f)

# Menghitung diferensiasi mundur dari fungsi
dy_vals <- c(NA, diff(y_vals) / diff(x_vals))

# Membuat dataframe dari vektor
df <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals, dy = dy_vals)

# Membuat plot fungsi dan turunannya
ggplot(df, aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y = y), color = "blue") +
  geom_line(aes(y = dy), color = "red") +
  ggtitle("Function and Its Backward Derivative") +
  xlab("x") +
  ylab("y") +
  scale_color_manual(values = c("blue", "red"), labels = c("Function", "Backward Derivative")) +
  theme(legend.position = c(0.8, 0.9))

## Warning: Removed 1 row containing missing values (`geom_line()`).

Diferensiasi Mundur adalah salah satu alat penting dalam diferensiasi numerik yang dapat digunakan dalam berbagai aplikasi, terutama ketika kita perlu mengukur perubahan dalam data diskrit atau perkiraan turunan dari data yang tersedia pada titik-titik tertentu.