Prueba de hipotésis para una proporción

Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: p\leq 0.3 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p > 0.3 \] Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: p\geq 0.3 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p < 0.3 \] Prueba de dos colas (bilateral)

\[ H_0: p= 0.3 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p \neq 0.3 \] La distribución muestral de la proporción muestral es normal.

Fórmula para calcular el Estadístico

\[Z= \frac{\overline{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \] Fórmula del valor P

\[\text{$P$-valor} \;= \; \begin{cases} P(Z\leq z), & \text{para una prueba de una cola a la izquierda}, \\ & \\ P(Z\geq z), & \text{para una prueba de una cola a la derecha}, \\ &\\ 2\,P(Z\geq |z|),& \text{para una prueba de dos colas}. \end{cases} \]

Ejercicio 1

Se considera que un medicamento que se prescribe comúnmente para aliviar la tensión nerviosa tiene una eficacia de tan sólo 60%. Los resultados experimentales de un nuevo fármaco administrado a una muestra aleatoria de 100 adultos que padecían tensión nerviosa revelaron que 70 de ellos sintieron alivio. ¿Esta evidencia es suficiente para concluir que el nuevo medicamento es mejor que el que se prescribe comúnmente? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

\[ H_0: p\leq 0.6 \quad \mbox{versus} \quad H_1: p > 0.6 \]

n=100
alpha=0.05
pbarra=0.7  #proporción de la muestra
p=0.6  # proporcion_hipotetica

# Prueba de hipótesis de una proporción
resultado_prueba <- prop.test(x = pbarra*n, n = n, p = p, alternative = "greater")

ES <- sqrt(p*(1-p)/n)  #K) Error estándar (= desviación estándar del estadístico)
z<- (pbarra - p)/ES    #L) Valor de prueba
c=qnorm(1-alpha)
c;z

## [1] 1.644854

## [1] 2.041241

# Mostrar resultados
cat("Resultado de la prueba de hipótesis:\n")

## Resultado de la prueba de hipótesis:

print(resultado_prueba)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  pbarra * n out of n, null probability p
## X-squared = 3.7604, df = 1, p-value = 0.02624
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.6
## 95 percent confidence interval:
##  0.6149607 1.0000000
## sample estimates:
##   p 
## 0.7

Decisión: Rechazar $H_0$ y concluir que el nuevo fármaco es mejor.

Ejercicios 2

Se está considerando utilizar un nuevo aparato de radar para cierto sistema de misiles de defensa. El sistema se verifica experimentando con una aeronave en la que se simula una situación en la que alguien muere y otra en la que no ocurre ninguna muerte. Si en 300 ensayos ocurren 250 muertes, al nivel de significancia de 0.04, acepte o rechace la afirmación de que la probabilidad de una muerte con el nuevo sistema no excede a la probabilidad de 0.8 del sistema que se utiliza actualmente.

\[ H_0: p\leq xxx \quad \mbox{versus} \quad H_1: p > xxx \]
\[ H_0: p\geq xxx \quad \mbox{versus} \quad H_1: p < xxx \]

n=300
x=250
alpha=0.04
pbarra=x/n  #proporción de la muestra
p=0.8  # proporcion_hipotetica

# Prueba de hipótesis de una proporción
resultado_prueba <- prop.test(x = pbarra*n, n = n, p = p, alternative = "greater")

ES <- sqrt(p*(1-p)/n)  #K) Error estándar (= desviación estándar del estadístico)
z<- (pbarra - p)/ES    #L) Valor de prueba
c=qnorm(1-alpha)
c;z

## [1] 1.750686

## [1] 1.443376

# Mostrar resultados
cat("Resultado de la prueba de hipótesis:\n")

## Resultado de la prueba de hipótesis:

print(resultado_prueba)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  pbarra * n out of n, null probability p
## X-squared = 1.8802, df = 1, p-value = 0.08516
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.8
## 95 percent confidence interval:
##  0.7932049 1.0000000
## sample estimates:
##         p 
## 0.8333333

Ejercicios en clase

Se cree que al menos 60% de los residentes de cierta área están a favor de una demanda de anexión de una ciudad vecina. ¿Qué conclusión extraería si sólo 110 en una muestra de 200 votantes están a favor de la demanda? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

\[ H_0: p\geq 80\% \quad \mbox{versus} \quad H_1: p < 80\% \]

n=200
alpha=0.05
pbarra=0.55  #proporción de la muestra
p=0.6  # proporcion_hipotetica

# Prueba de hipótesis de una proporción
resultado_prueba <- prop.test(x = pbarra*n, n = n, p = p, alternative = "less")

ES <- sqrt(p*(1-p)/n)  #K) Error estándar (= desviación estándar del estadístico)
z<- (pbarra - p)/ES    #L) Valor de prueba
c=qnorm(1-alpha)
c;z

## [1] 1.644854

## [1] -1.443376

# Mostrar resultados
cat("Resultado de la prueba de hipótesis:\n")

## Resultado de la prueba de hipótesis:

print(resultado_prueba)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  pbarra * n out of n, null probability p
## X-squared = 1.8802, df = 1, p-value = 0.08516
## alternative hypothesis: true p is less than 0.6
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.6092492
## sample estimates:
##    p 
## 0.55

#Ejercicio de proporción 3. En cierta universidad se estima que a lo sumo 25% de los estudiantes van en bicicleta a la escuela. ¿Parece que ésta es una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitarios, se encuentra que 28 van en bicicleta a la escuela? Utilice un nivel de significancia de 0.05. b. \[ H_0: p\geq 25\% \quad \mbox{versus} \quad H_1: p > 25\% \]

n=90
x=28
alpha=0.05
pbarra=x/n #proporción de la muestra
p=0.25  # proporcion_hipotetica

# Prueba de hipótesis de una proporción
resultado_prueba <- prop.test(x = pbarra*n, n = n, p = p, alternative = "greater")

ES <- sqrt(p*(1-p)/n)  #K) Error estándar (= desviación estándar del estadístico)
z<- (pbarra - p)/ES    #L) Valor de prueba
c=qnorm(1-alpha)
c;z

## [1] 1.644854

## [1] 1.338877

# Mostrar resultados
cat("Resultado de la prueba de hipótesis:\n")

## Resultado de la prueba de hipótesis:

print(resultado_prueba)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  pbarra * n out of n, null probability p
## X-squared = 1.4815, df = 1, p-value = 0.1118
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.25
## 95 percent confidence interval:
##  0.2323325 1.0000000
## sample estimates:
##         p 
## 0.3111111

#Ejer 3
"En la revista Hypertension de la American
Heart Association, investigadores reportan que los
individuos que practican la meditación trascendental (MT)
bajan su presión sanguínea de forma significativa. Si
una muestra aleatoria de 225 hombres que practican la
MT meditan 8.5 horas a la semana, con una desviación
estándar de 2.25 horas, ¿esto sugiere que, en promedio,
los hombres que utilizan la MT meditan más de 8 horas
por semana? Cite un valor P en su conclusión."

## [1] "En la revista Hypertension de la American\nHeart Association, investigadores reportan que los\nindividuos que practican la meditación trascendental (MT)\nbajan su presión sanguínea de forma significativa. Si\nuna muestra aleatoria de 225 hombres que practican la\nMT meditan 8.5 horas a la semana, con una desviación\nestándar de 2.25 horas, ¿esto sugiere que, en promedio,\nlos hombres que utilizan la MT meditan más de 8 horas\npor semana? Cite un valor P en su conclusión."

"Hipotesis Nula: En promedio, los hombres que utilizan la MT meditan hasta 8 horas por semana.
Hipotesis Alternativa: En promedio, los hombres que utilizan la MT meditan más de 8 horas por semana."

## [1] "Hipotesis Nula: En promedio, los hombres que utilizan la MT meditan hasta 8 horas por semana.\nHipotesis Alternativa: En promedio, los hombres que utilizan la MT meditan más de 8 horas por semana."

n=225
x=8.5
ds=2.25
alpha=0.05
u=8
c=qnorm(1-alpha)
z=(x-u)/(ds/sqrt(n))

c;z

## [1] 1.644854

## [1] 3.333333

Descicion:Dados los resultados con una confianza del 95% se rechaza la hipotesis nula

Prueba de hipótesis

Para una muestra y una proporción

2023-10-30

Prueba de hipotésis para una proporción

Ejercicio 1

Ejercicios 2

Ejercicios en clase