Diferensiasi

library(mosaic)

## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2

## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.

## 
## Attaching package: 'mosaic'

## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally

## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum

Diferensiasi

Dalam kalkulus, diferensiasi mengacu pada proses mencari turunan fungsi. Turunan adalah laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel inputnya. Dalam terminologi yang lebih sederhana, turunan mengukur seberapa cepat atau lambat suatu fungsi berubah ketika nilai variabel inputnya berubah sedikit.

Misalkan kita memiliki fungsi f(x) , yang merupakan keterangan matematis dari hubungan antara variabel x dan y . Diferensiasi f(x) menghasilkan turunan f′(x) , yang memberikan kita informasi tentang laju perubahan y terhadap x pada setiap titik dalam domain fungsi.

Pentingnya Diferensiasi

Diferensiasi adalah alat yang sangat penting dalam kalkulus dan memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang ilmu dan teknik. Beberapa contoh penerapannya termasuk:

Fisika: Diferensiasi digunakan untuk menghitung kecepatan, percepatan, dan perubahan lainnya dalam gerakan benda. Hukum-hukum fisika seperti Hukum Newton dibentuk dengan bantuan turunan.

Ekonomi: Diferensiasi digunakan untuk mengukur elastisitas permintaan, tingkat perubahan harga, dan berbagai parameter penting dalam analisis ekonomi.

Ilmu Komputer: Diferensiasi digunakan dalam pembelajaran mesin dan algoritma optimisasi untuk menghasilkan model yang dapat memprediksi data dan mengambil keputusan.

Ilmu Biologi: Diferensiasi digunakan dalam model matematika untuk menggambarkan laju pertumbuhan populasi dan dinamika populasi lainnya.

ilustrasi diferensiasi :

# Memasukkan paket ggplot2
library(ggplot2)

# Membuat data frame untuk Slice Plot
data <- data.frame(
  x = seq(-3, 7, by = 0.04),     # Range nilai x
  y = sapply(seq(-3, 7, by = 0.04), function(x) x^2),  # Fungsi f(x) = x^2
  dy = sapply(seq(-3, 7, by = 0.04), function(x) 2 * x)  # Turunan f'(x) = 2x
)

# Membuat Slice Plot
plot <- ggplot(data, aes(x, y)) +
  geom_line(aes(color = "f(x)")) +
  geom_line(aes(x, dy, color = "f'(x)")) +
  labs(title = "Slice Plot: f(x) = x^2 and f'(x) = 2x", x = "x", y = "y") +
  scale_color_manual(values = c("f(x)" = "purple", "f'(x)" = "blue"))

# Menampilkan grafik Slice Plot
print(plot)

dua kurva dalam satu grafik. Kurva biru mewakili fungsi f(x)=x2 , sementara kurva merah mewakili turunannya, f′(x)=2x . Grafik diatas memperlihatkan bagaimana turunan f(x) menggambarkan laju perubahan y terhadap x pada setiap titik dalam domain fungsi.