“EL JUEGO DE LA RULETA El juego de la ruleta es quizás uno de los mas conocidos de los casinos. Consiste en unaruleta que contiene números del 1 al 36 (18 números negros y 18 números rojos) y 2 verdes (queson cero y doble cero) para un total de 38 casillas donde puede caer una bolita lanzada por elcroupier. Dependiendo de la forma de la apuesta, un número, dos números, cuatro números a uncolor, entre otras, el casino le retornará una cierta cantidad de veces su apuesta. Por ejemplo,si apuesta a un solo número le devolverán 35 veces lo apostado, mientras que si apuesta auncolor dado, le devolverán el doble de la apuesta. Suponga que se apuesta una sola moneda de $5000 por vez y siempre se apuesta al mismo número.”

Punto 1. Defina las funciones de masa de probabilidad para cada variable aleatoria. Justifique su respuesta”

La probabilidad de que la bolita caiga en ese número en un juego es 1/38, ya que hay 1 resultado favorable y 38 resultados posibles. Entonces, la funcion de masa de probabilidad para X es una distribución binomial con n = 35 (juegos) y p = 1/38 (probabilidad de ganar en un juego).

m <- 35 
p <- 1/38 
t <- 0:35 
pmf_t <- dbinom(t, size = m, prob = p)
### La PMF para Y se asemeja a una distribución geométrica, donde p = 1/38.”
py <- 1/38 
b <- 1:35 
pmf_b <- dgeom(b, prob = py)

Punto 2. Calcule los valores esperados y las varianzas de las variables aleatorias”

# Probabilidad de ganar en un juego (X)
p_x <- 1/38

# Número de juegos (X)
n_x <- 35

# Valor Esperado (Media) para X
valesp_x <- n_x * p_x

# Varianza para X
var_x <- n_x * p_x * (1 - p_x)

# Probabilidad de ganar en una apuesta (Y)
p_y <- 1/38

# Valor Esperado (Media) para Y
valesp_y <- 1 / p_y

# Varianza para Y
var_y <- (1 - p_y) / p_y^2

# Imprimir los resultados
cat("Valor Esperado (Media) para X:", valesp_x)
## Valor Esperado (Media) para X: 0.9210526
## Valor Esperado (Media) para X: 0.9210526
cat("Varianza para X:", var_x)
## Varianza para X: 0.8968144
## Varianza para X: 0.8968144
cat("Valor Esperado (Media) para Y:", valesp_y)
## Valor Esperado (Media) para Y: 38
## Valor Esperado (Media) para Y: 38
cat("Varianza para Y:", var_y)
## Varianza para Y: 1406
## Varianza para Y: 1406

Punto 3. Haciendo uso de la variable aleatoria Y determine la probabilidad de que si usted lleva $100.000 usted lo pierda todo

# Probabilidad de ganar en una apuesta (Y)
p_Y <- 1/38

# Número de apuestas hasta perder todo ($100,000)
n_apuestas <- 100000 / 5000  # 100,000 dividido por la apuesta por juego

# Probabilidad de perder todo en Y apuestas
prob_ptodo <- (1 - p_Y)^(n_apuestas - 1)

cat("La probabilidad de perder los $100,000 en", n_apuestas, "apuestas es:", prob_ptodo )
## La probabilidad de perder los $100,000 en 20 apuestas es: 0.6024825
## La probabilidad de perder los $100,000 en 20 apuestas es: 0.60248

Punto 4. Determine la ganancia esperada de la variable x. Explique quien tiene la ventaja, ¿El casino o usted?”

# Probabilidad de ganar en un juego (X)
p_X <- 1/38

# Número de juegos (X)
n_X <- 35

# Ganancia en un solo juego
ganancia_juego <- 35 * 5000  # 35 veces la apuesta de 5000

# Valor Esperado (Media) para X (ganancia esperada)
ganancia_esperada <- n_X * p_X * ganancia_juego

cat("La ganancia esperada de la variable X es:", ganancia_esperada)
## La ganancia esperada de la variable X es: 161184.2
## La ganancia esperada de la variable X es: 161184.2

Punto 5. Eligiendo un numero de su agrado entre 1 y 38, elabore una simulacion generando numeros aleatorios hasta que caiga el numero de su eleccion. Determine si pierde o no los $100.000 cada vez. Repita este proceso al menos 20 veces. Determine la proporcion de veces que pierde.

# Función para simular un juego
simular_juego <- function(numero_elegido) {
  saldo <- 100000 # Saldo inicial de $100,000
  apuesta_por_juego <- 5000 # Apuesta por juego
  numero_de_juegos <- 0
  
  while (saldo > 0) {
    numero_generado <- sample(1:38, 1) # Generar un número aleatorio entre 1 y 38
    
    # Verificar si el número generado es igual al número elegido
    if (numero_generado == numero_elegido) {
      saldo <- saldo + apuesta_por_juego * 35 # Ganancia si el número es igual al elegido
      break # Terminar el juego
    } else {
      saldo <- saldo - apuesta_por_juego # Restar la apuesta al saldo
      numero_de_juegos <- numero_de_juegos + 1
    }
  }
  
  return(numero_de_juegos)
}

# Repetir la simulación al menos 20 veces
repeticiones <- 20
numero_elegido <- 8
perdidas <- 0

for (i in 1:repeticiones) {
  numero_de_juegos <- simular_juego(numero_elegido)
  if (numero_de_juegos > 0) {
    perdidas <- perdidas + 1
  }
}

# Calcular la proporción de veces que pierde
proporcion_pierde <- perdidas / repeticiones

cat("Número elegido:", numero_elegido)
## Número elegido: 8
## Número elegido: 8
cat("Veces que perdió en", repeticiones, "repeticiones:", perdidas)
## Veces que perdió en 20 repeticiones: 20
## Veces que perdió en 20 repeticiones: 18
cat("Proporción de veces que pierde:", proporcion_pierde)
## Proporción de veces que pierde: 1
## Proporción de veces que pierde: 0.9