Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Pendahuluan

  Iterasi berulang dalam konteks kalkulus adalah proses perulangan yang digunakan untuk mendekati solusi suatu masalah matematika atau perhitungan. Dalam iterasi, langkah-langkah tertentu diulang dengan nilai yang diperbarui setelah setiap iterasi. Proses ini bertujuan untuk mendekati solusi yang diinginkan dengan meningkatkan akurasi dengan setiap iterasi.

Pengertian Iterasi Berulang dalam Kalkulus

  1. Pemilihan Nilai Awal: Iterasi dimulai dengan pemilihan nilai awal, yang sering disebut sebagai “tebakan awal.” Nilai ini digunakan sebagai titik awal perhitungan.

  2. Perhitungan Awal: Dengan menggunakan nilai awal tersebut, perhitungan awal dilakukan. Ini dapat berupa evaluasi fungsi matematis atau pemecahan persamaan matematis. Hasil dari perhitungan awal akan menjadi nilai perkiraan untuk solusi yang diinginkan.

  3. Pengecekan Kriteria Berhenti: Setelah perhitungan awal, kriteria berhenti diperiksa. Kriteria ini ditentukan sebelumnya dan berfungsi untuk menghentikan iterasi jika solusi yang memadai telah dicapai. Kriteria berhenti dapat berupa perbedaan antara perkiraan solusi saat ini dan perkiraan sebelumnya yang cukup kecil, atau mencapai jumlah iterasi yang telah ditentukan.

  4. Pembaruan Nilai: Jika kriteria berhenti belum terpenuhi, nilai yang digunakan dalam perhitungan (nilai yang diperoleh dari langkah sebelumnya) diperbarui. Ini menjadi nilai awal untuk iterasi berikutnya.

  5. Iterasi Selanjutnya: Perhitungan selanjutnya dilakukan dengan menggunakan nilai yang baru diperbarui. Ini adalah iterasi berikutnya dalam rangkaian perhitungan.

  6. Iterasi Berulang: Langkah 4 dan 5 diulang berulang kali hingga kriteria berhenti terpenuhi. Semakin banyak iterasi yang dilakukan, semakin mendekati solusi yang diinginkan biasanya diperoleh.

  7. Kesimpulan dan Interpretasi: Setelah kriteria berhenti terpenuhi, hasil dari iterasi terakhir digunakan sebagai perkiraan solusi dari masalah yang dipecahkan. Ini dapat diinterpretasikan dalam konteks masalah untuk pengambilan keputusan.

Contoh Soal Iterasi Berulang

kita ingin mencari akar dari fungsi f(x)=x^3−5

# Fungsi yang akan dicari akarnya
f <- function(x) {
  return(x^3 - 5)
}

# Metode iteratif untuk mendekati akar
iterative_method <- function(f, x0, tol, max_iter) {
  x <- x0
  for (i in 1:max_iter) {
    x_new <- x - f(x) / (3 * x^2)  # Metode Newton-Raphson untuk akar fungsi
    if (abs(x_new - x) < tol) {
      cat("Iterasi konvergen setelah", i, "langkah.\n")
      return(x_new)
    }
    x <- x_new
  }
  cat("Iterasi tidak konvergen setelah", max_iter, "langkah.\n")
  return(NA)
}

# Nilai awal
x0 <- 2.0
# Toleransi (seberapa mendekati akar yang diinginkan)
tolerance <- 1e-6
# Jumlah maksimum iterasi
max_iterations <- 100

# Panggil metode iteratif
root <- iterative_method(f, x0, tolerance, max_iterations)
## Iterasi konvergen setelah 4 langkah.
if (!is.na(root)) {
  cat("Akar perkiraan:", root, "\n")
}
## Akar perkiraan: 1.709976

CONTOH SOAL 2 Dalam contoh ini, kita ingin mendekati solusi dari persamaan f(x)=x^2−5 menggunakan metode iteratif yang lebih sederhana.

# Fungsi yang akan digunakan dalam iterasi
f <- function(x) {
  return(x^2 - 5)
}

# Metode iteratif untuk mendekati solusi
iterative_method <- function(f, x0, tol, max_iter) {
  x <- x0
  for (i in 1:max_iter) {
    x_new <- x - f(x)  # Metode iterasi sederhana
    if (abs(x_new - x) < tol) {
      cat("Iterasi konvergen setelah", i, "langkah.\n")
      return(x_new)
    }
    x <- x_new
  }
  cat("Iterasi tidak konvergen setelah", max_iter, "langkah.\n")
  return(NA)
}

# Nilai awal
x0 <- 2.0
# Toleransi (seberapa mendekati solusi yang diinginkan)
tolerance <- 1e-6
# Jumlah maksimum iterasi
max_iterations <- 100

# Panggil metode iteratif
solution <- iterative_method(f, x0, tolerance, max_iterations)
## Iterasi tidak konvergen setelah 100 langkah.
if (!is.na(solution)) {
  cat("Solusi perkiraan:", solution, "\n")
}

CONTOH SOAL 3 Diberikan persamaan f(x)=ex−2x2=0. Anda diminta untuk mencari akar persamaan ini dengan metode iteratif menggunakan metode Newton-Raphson. Gunakan nilai awal x0=1 dan toleransi 10^−6

# Fungsi yang akan dicari akarnya
f <- function(x) {
  return(exp(x) - 2 * x^2)
}

# Metode iteratif untuk mendekati akar
iterative_method <- function(f, x0, tol, max_iter) {
  x <- x0
  for (i in 1:max_iter) {
    x_new <- x - f(x) / (exp(x) - 4 * x)  # Metode Newton-Raphson untuk akar fungsi
    if (abs(x_new - x) < tol) {
      cat("Iterasi konvergen setelah", i, "langkah.\n")
      return(x_new)
    }
    x <- x_new
  }
  cat("Iterasi tidak konvergen setelah", max_iter, "langkah.\n")
  return(NA)
}

# Nilai awal
x0 <- 1.0
# Toleransi (seberapa mendekati akar yang diinginkan)
tolerance <- 1e-6
# Jumlah maksimum iterasi
max_iterations <- 100

# Panggil metode iteratif
root <- iterative_method(f, x0, tolerance, max_iterations)
## Iterasi konvergen setelah 4 langkah.
if (!is.na(root)) {
  cat("Akar perkiraan:", root, "\n")
}
## Akar perkiraan: 1.487962

Manfaat Iterasi Berulang dalam Kalkulus

Iterasi berulang adalah metode yang sangat berguna dalam berbagai konteks matematika dan kalkulus. Beberapa manfaat utamanya meliputi:

  1. Pencarian Akar Persamaan: Iterasi digunakan untuk mencari akar suatu persamaan matematis, yaitu nilai di mana fungsi sama dengan nol. Metode Newton-Raphson adalah salah satu metode iterasi yang digunakan untuk ini.

  2. Optimisasi: Iterasi digunakan dalam metode optimisasi numerik, di mana kita mencari solusi optimal untuk masalah matematis yang kompleks.

  3. Simulasi Numerik: Dalam berbagai simulasi numerik, iterasi digunakan untuk mendekati solusi masalah yang rumit, seperti solusi persamaan diferensial.

  4. Kalkulasi Aproksimasi: Iterasi digunakan untuk menghitung nilai pendekatan atau aproksimasi dari fungsi yang sulit dipecahkan secara eksplisit.

Kesimpulan

  Iterasi berulang dalam kalkulus adalah proses berulang yang digunakan untuk mendekati solusi masalah matematika. Ini melibatkan pemilihan nilai awal, perhitungan berulang dengan nilai yang diperbarui, dan pengecekan kriteria berhenti. Melalui iterasi, kita dapat mendekati solusi masalah yang kompleks dengan meningkatkan akurasi setiap kali iterasi dilakukan. Ini adalah alat penting dalam analisis matematis dan pemecahan masalah numerik di berbagai bidang ilmu. Meskipun sumber Stewart (2015) mungkin tidak secara eksplisit membahas iterasi, pemahaman konsep ini adalah kunci untuk berhasil dalam iterasi kalkulus.

Sumber

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.