Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Pendahuluan

 Dalam konteks kalkulus, iterasi mengacu pada proses berulang yang digunakan untuk mendekati solusi suatu masalah matematika atau perhitungan. Konsep ini sering digunakan dalam pemecahan masalah yang melibatkan fungsi matematis kompleks atau persamaan yang sulit dipecahkan secara eksplisit. Dalam iterasi, kita mengulangi langkah-langkah tertentu dengan nilai awal yang diberikan hingga mendekati solusi yang di inginkan

Pengertian Iterasi dalam Kalkulus

 Iterasi adalah metode berulang yang digunakan untuk mendekati solusi suatu masalah matematika. Konsep ini sangat berguna ketika kita menghadapi masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan cara eksplisit atau ketika solusi analitik tidak tersedia.

Langkah- Langkah Iterasi dalam kalkulus

  1. Penentuan Nilai Awal: Iterasi dimulai dengan memilih nilai awal yang akan digunakan sebagai titik awal perhitungan. Nilai awal ini bisa berdasarkan estimasi atau pendekatan awal terhadap solusi yang diinginkan.

  2. Perhitungan Berulang: Setelah nilai awal ditentukan, kita menghitung nilai fungsi matematis atau persamaan yang ingin dipecahkan dengan menggunakan nilai awal tersebut. Hasil dari perhitungan ini digunakan sebagai nilai baru yang akan digunakan dalam iterasi berikutnya.

  3. Penentuan Kriteria Berhenti: Untuk mencegah iterasi tak terbatas, kita menetapkan kriteria berhenti. Ini adalah kondisi yang, jika terpenuhi, mengakhiri iterasi. Contoh kriteria berhenti adalah ketika nilai hasil iterasi sudah cukup mendekati solusi yang diinginkan atau ketika perbedaan antara hasil iterasi yang berurutan menjadi sangat kecil.

  4. Iterasi Berulang: Langkah-langkah di atas diulang sampai kriteria berhenti terpenuhi. Hasil iterasi terakhir digunakan sebagai solusi perkiraan dari masalah yang dipecahkan.

Contoh Soal

kita mencari akar persamaan x^2−4 menggunakan metode Newton-Raphson. Kita memulai iterasi dengan nilai awal x0=1 dan menetapkan kriteria berhenti dengan toleransi 1×10−6 atau maksimal 100 iterasi. Iterasi berlanjut sampai selisih antara fungsi f(x) dengan nol lebih kecil dari toleransi atau hingga mencapai batas maksimal iterasi.

# Fungsi untuk persamaan yang ingin dipecahkan
f <- function(x) {
  return(x^2 - 4)
}

# Nilai awal
x0 <- 1

# Kriteria berhenti
tolerance <- 1e-6
max_iter <- 100

# Inisialisasi iterasi
x <- x0
iteration <- 0

# Proses iterasi
while (abs(f(x)) > tolerance && iteration < max_iter) {
  x <- x - f(x) / (2 * x)  # Iterasi dengan metode Newton-Raphson
  iteration <- iteration + 1
}

# Hasil
if (abs(f(x)) <= tolerance) {
  cat("Akar persamaan:", x, "\n")
  cat("Iterasi berhasil setelah", iteration, "langkah.\n")
} else {
  cat("Iterasi tidak konvergen setelah", max_iter, "langkah.\n")
}
## Akar persamaan: 2 
## Iterasi berhasil setelah 4 langkah.

CONTOH SOAL 2 Dalam contoh ini, kita mencari akar persamaan x3−3x2−4 menggunakan metode iterasi yang berbeda, bukan metode Newton-Raphson seperti sebelumnya. Prinsip dasar iterasi tetap sama, yaitu memulai dengan nilai awal, menetapkan kriteria berhenti, dan menghitung iterasi berulang kali.

# Fungsi untuk persamaan yang ingin dipecahkan
f <- function(x) {
  return(x^3 - 3*x^2 - 4)
}

# Nilai awal
x0 <- 1.5

# Kriteria berhenti
tolerance <- 1e-6
max_iter <- 100

# Inisialisasi iterasi
x <- x0
iteration <- 0

# Proses iterasi
while (abs(f(x)) > tolerance && iteration < max_iter) {
  x <- x - f(x) / (3 * x^2 - 6 * x)  # Iterasi dengan metode lain
  iteration <- iteration + 1
}

# Hasil
if (abs(f(x)) <= tolerance) {
  cat("Akar persamaan:", x, "\n")
  cat("Iterasi berhasil setelah", iteration, "langkah.\n")
} else {
  cat("Iterasi tidak konvergen setelah", max_iter, "langkah.\n")
}
## Akar persamaan: 3.355301 
## Iterasi berhasil setelah 36 langkah.

Manfaat Iterasi dalam Kalkulus

Iterasi adalah alat yang sangat berguna dalam berbagai konteks matematika dan kalkulus. Beberapa manfaat utamanya meliputi:

  1. Pencarian Akar Persamaan: Iterasi digunakan untuk mencari akar suatu persamaan matematis, yaitu nilai di mana fungsi sama dengan nol. Misalnya, metode Newton-Raphson adalah salah satu metode iterasi yang digunakan untuk ini.

  2. Optimisasi: Iterasi digunakan dalam metode optimisasi numerik, di mana kita mencari solusi optimal untuk masalah matematis yang kompleks.

  3. Simulasi Numerik: Dalam berbagai simulasi numerik, iterasi digunakan untuk mendekati solusi masalah yang rumit, seperti solusi persamaan diferensial.

  4. Kalkulasi Aproksimasi: Iterasi digunakan untuk menghitung nilai pendekatan atau aproksimasi dari fungsi yang sulit dipecahkan secara eksplisit.

Kesimpulan

 Iterasi dalam kalkulus adalah proses berulang yang digunakan untuk mendekati solusi masalah matematika yang tidak dapat dipecahkan secara eksplisit. Metode ini menggantung pada nilai awal, perhitungan berulang, dan kriteria berhenti. Dengan bantuan iterasi, kita dapat mendekati solusi masalah matematis yang kompleks, termasuk pencarian akar persamaan, optimisasi, simulasi numerik, dan banyak aplikasi matematika lainnya. Ini adalah alat penting dalam analisis matematis dan pemecahan masalah numerik.

Sumber

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.