Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom
Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Fakultas : Sains dan Teknologi
Jurusan : Teknik Informatika
Analisis turunan dalam konteks optimisasi kalkulus adalah proses untuk mengevaluasi turunan fungsi objektif dalam rangka mencari titik-titik kritis yang mungkin menjadi solusi maksimum atau minimum dalam masalah optimisasi. Konsep ini memainkan peran sentral dalam kalkulus ketika kita mencari nilai ekstrim dalam fungsi yang ingin dioptimalkan. Menghitung Turunan Pertama: Setelah kita memiliki fungsi objektif yang ingin dioptimalkan, langkah pertama adalah menghitung turunan pertama dari fungsi ini terhadap variabel yang relevan. Turunan pertama ini menggambarkan laju perubahan fungsi objektif terhadap perubahan variabel independennya.
Mencari Titik-Titik Kritis: Untuk mencari titik-titik kritis yang mungkin menjadi maksimum atau minimum, kita menyelesaikan turunan pertama yang kita hitung pada langkah pertama. Titik-titik ini adalah tempat di mana laju perubahan fungsi objektif sama dengan nol. Secara matematis, kita mencari solusi dari persamaan f ′(x)=0, di mana f ′(x) adalah turunan pertama dari fungsi objektif.
Menggunakan Turunan Kedua: Setelah kita menemukan titik-titik kritis, kita perlu menentukan apakah mereka adalah maksimum atau minimum. Ini dilakukan dengan menggunakan turunan kedua, yang menggambarkan laju perubahan dari laju perubahan fungsi objektif. Untuk titik kritis yang ditemukan dalam langkah sebelumnya, kita menghitung turunan kedua pada titik tersebut.
Jika turunan kedua (f ′′(x)) positif pada titik kritis, maka titik tersebut adalah minimum lokal.
Jika turunan kedua (f ′′(x)) negatif pada titik kritis, maka titik tersebut adalah maksimum lokal.
Jika turunan kedua adalah nol atau tidak dapat ditentukan, maka analisis lebih lanjut mungkin diperlukan untuk menentukan status titik kritis tersebut.
Misalkan Anda adalah seorang manajer pabrik yang ingin mengoptimalkan pengeluaran produksi suatu item. Anda memiliki fungsi biaya produksi sebagai berikut:C(x)=3x^2−12x+15 Di sini, C(x) adalah biaya produksi (dalam ribu dolar) dan x adalah jumlah item yang diproduksi. Anda ingin menemukan jumlah item yang harus diproduksi untuk meminimalkan biaya produksi.
Hasil ini akan memberi tahu Anda jumlah item yang harus diproduksi untuk meminimalkan biaya produksi dan apakah titik tersebut adalah minimum. Anda juga akan melihat biaya produksi minimum yang dapat dicapai.
# Definisi fungsi biaya produksi
cost <- function(x) {
return(3 * x^2 - 12 * x + 15)
}
# Hitung turunan pertama
cost_prime <- function(x) {
return(6 * x - 12)
}
# Temukan titik-titik kritis
critical_points <- uniroot(cost_prime, interval = c(0, 10))
optimal_x <- critical_points$root
# Hitung turunan kedua
cost_double_prime <- function(x) {
return(6)
}
# Evaluasi turunan kedua pada titik kritis
second_derivative <- cost_double_prime(optimal_x)
# Tentukan apakah titik kritis adalah minimum atau tidak
if (second_derivative > 0) {
result <- "Minimum"
} else {
result <- "Tidak ada minimum"
}
# Tampilkan hasil optimisasi
cat("Jumlah item yang harus diproduksi:", round(optimal_x, 2), "\n")## Jumlah item yang harus diproduksi: 2cat("Status titik kritis:", result, "\n")## Status titik kritis: Minimumcat("Biaya produksi minimum:", round(cost(optimal_x), 2), "ribu dolar\n")## Biaya produksi minimum: 3 ribu dolarAnda menjual produk tertentu dengan biaya produksi dan harga penjualan tertentu. Fungsi biaya produksi dan pendapatan dari penjualan produk adalah sebagai berikut:
Biaya Produksi: C(x)=0.5x^2 −2x+10
Pendapatan Penjualan: R(x)=5x
Di sini, C(x) adalah biaya produksi (dalam ribu dolar) dan R(x) adalah pendapatan dari penjualan (dalam ribu dolar) dengan x adalah jumlah produk yang dijual. Anda ingin menemukan jumlah produk yang harus dijual untuk memaksimalkan keuntungan.
Hasil ini akan memberi tahu Anda jumlah produk yang harus dijual untuk memaksimalkan keuntungan, apakah titik tersebut adalah maksimum, dan nilai keuntungan maksimum yang dapat dicapai.
# Definisi fungsi keuntungan
profit <- function(x) {
return(5 * x - (0.5 * x^2 - 2 * x + 10))
}
# Hitung turunan pertama
profit_prime <- function(x) {
return(5 - (x - 2))
}
# Temukan titik-titik kritis
critical_points <- uniroot(profit_prime, interval = c(0, 10))
optimal_x <- critical_points$root
# Hitung turunan kedua
profit_double_prime <- function(x) {
return(-1)
}
# Evaluasi turunan kedua pada titik kritis
second_derivative <- profit_double_prime(optimal_x)
# Tentukan apakah titik kritis adalah maksimum atau tidak
if (second_derivative < 0) {
result <- "Maksimum"
} else {
result <- "Tidak ada maksimum"
}
# Tampilkan hasil optimisasi
cat("Jumlah produk yang harus dijual:", round(optimal_x, 2), "\n")## Jumlah produk yang harus dijual: 7cat("Status titik kritis:", result, "\n")## Status titik kritis: Maksimumcat("Keuntungan maksimum:", round(profit(optimal_x), 2), "ribu dolar\n")## Keuntungan maksimum: 14.5 ribu dolar Analisis turunan adalah alat yang kuat dalam pemecahan masalah optimisasi dalam berbagai konteks, termasuk ekonomi, rekayasa, ilmu pengetahuan, dan sains data. Ini memungkinkan kita untuk mengidentifikasi solusi yang optimal, mengoptimalkan proses, dan memahami dampak perubahan dalam berbagai variabel. Dengan analisis turunan, kita dapat mengambil keputusan yang lebih cerdas dan efisien dalam berbagai situasi. Analisis turunan dalam konteks optimisasi kalkulus adalah langkah penting dalam mencari solusi maksimum atau minimum fungsi objektif. Ini melibatkan perhitungan turunan pertama dan kedua dari fungsi objektif dan analisis terhadapnya untuk menentukan apakah titik-titik kritis adalah maksimum atau minimum. Melalui proses ini, kita dapat menemukan solusi optimal dalam berbagai bidang aplikasi dan mengambil keputusan yang lebih baik dalam pemecahan masalah optimisasi.Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.