Pendahuluan

 Diferensiasi tingkat tinggi dalam kalkulus adalah konsep yang melibatkan perhitungan turunan orde yang lebih tinggi dari suatu fungsi. Ini berarti kita tidak hanya menghitung turunan pertama (laju perubahan) atau turunan kedua (laju perubahan dari laju perubahan), tetapi kita melanjutkan dengan menghitung turunan ketiga, keempat, dan seterusnya.

Pengertian Diferensiasi Tingkat Tinggi dalam Kalkulus

Dalam diferensiasi tingkat tinggi, kita memperluas konsep turunan hingga orde yang lebih tinggi. Ini mengukur laju perubahan, atau perubahan laju perubahan, atau perubahan laju perubahan laju perubahan, dan seterusnya. Dengan kata lain, kita mengukur seberapa cepat perubahan fungsi terjadi dan seberapa cepat perubahan itu juga berubah.

Dalam notasi matematika, turunan orde ke-t dari suatu fungsi f(x) diwakili sebagai f^(t)(x) atau d^tf(x)/dxt, di mana t adalah tingkat turunan. Turunan pertama adalah f’(x), turunan kedua adalah f’’(x), dan seterusnya.

Contoh Penggunaan Diferensiasi Tingkat Tinggi

Misalnya, jika kita memiliki fungsi f(x) = 4x^3, kita dapat menghitung turunannya hingga orde yang lebih tinggi sebagai berikut:

Turunan pertama (laju perubahan): f ′(x)=12x 2

Turunan kedua (laju perubahan dari laju perubahan): f′′(x)=24x

Turunan ketiga (laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan): f ′′′(x)=24

Turunan keempat (laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan): f ′′′′(x)=0

Dalam hal ini, turunan keempat menjadi konstan nol karena perubahan lebih lanjut dari fungsi kubik ini tidak mempengaruhi laju perubahan fungsi pada tingkat tersebut. Ini menunjukkan bahwa fungsi asli telah mencapai titik “statis” di tingkat keempat turunan.

# Definisikan fungsi f(x)
f <- function(x) {
  return(4 * x^3)
}

# Hitung turunan pertama (laju perubahan)
f_prime <- function(x) {
  return(12 * x^2)
}

# Hitung turunan kedua (laju perubahan dari laju perubahan)
f_double_prime <- function(x) {
  return(24 * x)
}

# Hitung turunan ketiga (laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan)
f_triple_prime <- function(x) {
  return(24)
}

# Hitung turunan keempat (laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan)
f_fourth_prime <- function(x) {
  return(0)
}

# Tes fungsi-fungsi turunan
x <- 2  # Nilai x yang ingin diuji
cat("Nilai f(", x, ") = ", f(x), "\n")

## Nilai f( 2 ) =  32

cat("Turunan pertama: f'(", x, ") = ", f_prime(x), "\n")

## Turunan pertama: f'( 2 ) =  48

cat("Turunan kedua: f''(", x, ") = ", f_double_prime(x), "\n")

## Turunan kedua: f''( 2 ) =  48

cat("Turunan ketiga: f'''(", x, ") = ", f_triple_prime(x), "\n")

## Turunan ketiga: f'''( 2 ) =  24

cat("Turunan keempat: f''''(", x, ") = ", f_fourth_prime(x), "\n")

## Turunan keempat: f''''( 2 ) =  0

f adalah fungsi yang didefinisikan untuk menghitung nilai f(x) berdasarkan rumus matematika f(x) = 4x^3.
f_prime adalah fungsi yang menghitung turunan pertama (laju perubahan) dari f(x) menggunakan rumus turunan pertama, yaitu f’(x) = 12x^2.
f_double_prime adalah fungsi yang menghitung turunan kedua (laju perubahan dari laju perubahan) dari f(x) menggunakan rumus turunan kedua, yaitu f’’(x) = 24x.
f_triple_prime adalah fungsi yang menghitung turunan ketiga (laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan) dari f(x) menggunakan rumus turunan ketiga, yaitu f’’’(x) = 24.
f_fourth_prime adalah fungsi yang menghitung turunan keempat (laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan) dari f(x) menggunakan rumus turunan keempat, yaitu f’’’’(x) = 0.
Selanjutnya menguji fungsi-fungsi turunan ini pada nilai x yang ditentukan (di sini, x = 2) dan mencetak hasilnya ke layar.

Contoh Soal

# Fungsi f(x)
f <- function(x) {
  return(3 * x^2 - 2 * x + 1)
}

# Turunan pertama (laju perubahan)
f_prime <- function(x) {
  return(6 * x - 2)
}

# Turunan kedua (laju perubahan dari laju perubahan)
f_double_prime <- function(x) {
  return(6)
}

# Turunan ketiga (laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan)
f_triple_prime <- function(x) {
  return(0)
}

# Turunan keempat (laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan dari laju perubahan)
f_fourth_prime <- function(x) {
  return(0)
}

# Tes fungsi-fungsi turunan pada nilai x tertentu
x <- 4  # Ganti dengan nilai x yang Anda inginkan
cat("Nilai f(", x, ") = ", f(x), "\n")

## Nilai f( 4 ) =  41

cat("Turunan pertama: f'(", x, ") = ", f_prime(x), "\n")

## Turunan pertama: f'( 4 ) =  22

cat("Turunan kedua: f''(", x, ") = ", f_double_prime(x), "\n")

## Turunan kedua: f''( 4 ) =  6

cat("Turunan ketiga: f'''(", x, ") = ", f_triple_prime(x), "\n")

## Turunan ketiga: f'''( 4 ) =  0

cat("Turunan keempat: f''''(", x, ") = ", f_fourth_prime(x), "\n")

## Turunan keempat: f''''( 4 ) =  0

Manfaat Diferensiasi Tingkat Tinggi

Diferensiasi tingkat tinggi memiliki manfaat dalam berbagai aplikasi:

Analisis Laju Perubahan Tingkat Tinggi: Ini membantu dalam memahami kompleksitas perubahan dalam berbagai konteks seperti fisika, ekonomi, dan ilmu komputer.
Identifikasi Titik Ekstrim: Turunan orde tinggi digunakan dalam masalah optimisasi untuk mengidentifikasi titik maksimum dan minimum dalam fungsi.
Analisis Kurva: Dalam matematika, turunan orde tinggi membantu mengidentifikasi sifat-sifat kurva, termasuk titik infleksi dan konveksitas.
Mekanika Klasik: Dalam fisika, diferensiasi tingkat tinggi digunakan untuk memodelkan gerak benda dan mengukur percepatan dan perubahan percepatan.

Kesimpulan

Diferensiasi tingkat tinggi dalam kalkulus adalah konsep yang melibatkan perhitungan turunan orde yang lebih tinggi dari suatu fungsi. Ini membantu kita memahami bagaimana laju perubahan fungsi (atau laju perubahan dari laju perubahan, dan seterusnya) berubah seiring perubahan variabel independen. Ini memiliki banyak aplikasi dalam ilmu pengetahuan, matematika, dan teknik, membantu dalam memodelkan perubahan yang kompleks dan mendalam. Dalam analisis matematis, diferensiasi tingkat tinggi membantu dalam memahami sifat-sifat fungsi yang lebih rumit. Dalam fisika, ini digunakan untuk menganalisis gerakan dan dinamika sistem fisika. Dalam ilmu ekonomi, ini digunakan untuk menganalisis perilaku ekonomi dan dampak kebijakan.

Sumber

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.

DIFERENSIASI TINGKAT TINGGI DALAM KALKULUS

YOSI BRIYAN SAPUTRO

2023-10-22