Dosen : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Fakultas : Sains dan Teknologi

Jurusan : Teknik Informatika

Pendahuluan

Diferensiasi kedua, juga dikenal sebagai diferensiasi tingkat kedua, adalah konsep dalam kalkulus yang memungkinkan kita untuk mengukur laju perubahan laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Dalam diferensiasi tingkat kedua, kita menghitung turunan kedua dari suatu fungsi, yang menggambarkan laju perubahan turunan pertama atau laju perubahan fungsi asli terhadap perubahan variabel independen. Penjelasan ini didasarkan pada sumber "Calculus: Early Transcendentals" oleh James Stewart (2015).

Pengertian Diferensiasi Kedua (Diferensiasi Tingkat Kedua) dalam Kalkulus

Diferensiasi kedua adalah proses untuk menemukan turunan kedua dari suatu fungsi. Turunan kedua f(x) diwakili sebagai f’’(x) atau d2f(x)/dx2 dan mengukur perubahan laju perubahan fungsi f(x) terhadap perubahan variabel independennya x. Ini dapat dianggap sebagai turunan dari turunan pertama atau turunan biasa.

Rumus umum untuk menghitung turunan kedua dari suatu fungsi adalah sebagai berikut: f ′′(x)= d/dx (d/dx f(x))

Turunan kedua mengukur bagaimana laju perubahan fungsi f(x) (atau turunan pertamanya) berubah seiring perubahan x. Ini menggambarkan konsep percepatan, atau laju perubahan percepatan, dalam berbagai konteks fisika dan matematis.

Contoh Penggunaan Diferensiasi Kedua

Misalnya, jika kita memiliki fungsi f(x) = 2x^3, kita dapat menghitung turunan pertama (diferensiasi biasa) sebagai berikut:

f ′(x)=6x^2

Kemudian, kita dapat menghitung turunan kedua (diferensiasi tingkat kedua) dari hasil turunan pertama sebagai berikut:

f ′′(x)= d/dx (6x^2)=12x

Ini adalah turunan kedua dari fungsi f(x) = 2x^3, yang menggambarkan laju perubahan laju perubahan fungsi f(x) terhadap perubahan variabel x. Dalam hal ini, turunan kedua f’’(x) adalah fungsi linear yang menggambarkan percepatan pertumbuhan kubik.

# Mendefinisikan fungsi f(x) = 2x^3
f <- function(x) {
  return(2 * x^3)
}

# Menghitung turunan pertama (diferensiasi biasa) dari f(x)
f_prime <- function(x) {
  return(6 * x^2)
}

# Menghitung turunan kedua (diferensiasi tingkat kedua) dari f(x)
f_double_prime <- function(x) {
  return(12 * x)
}

# Contoh penggunaan fungsi-fungsi tersebut
x <- 3  # Nilai x yang ingin dihitung turunannya
first_derivative <- f_prime(x)
second_derivative <- f_double_prime(x)

cat("f'(x) =", first_derivative, "\n")
## f'(x) = 54
cat("f''(x) =", second_derivative, "\n")
## f''(x) = 36

Hasil dari kode di atas adalah turunan pertama f′(x)=6x^2 dan turunan kedua f ′′(x)=12x dari fungsi f(x)=2x^3 pada titik x=3. Anda dapat mengganti nilai x sesuai dengan yang Anda inginkan.

contoh Soal Diferensiasi kedua

Kita akan menghitung turunan kedua dari fungsi sederhana

f(x)=3x^2−6x+2.

# Mendefinisikan fungsi f(x)
f <- function(x) {
  return(3 * x^2 - 6 * x + 2)
}

# Menghitung turunan pertama (diferensiasi biasa) dari f(x)
f_prime <- function(x) {
  return(6 * x - 6)
}

# Menghitung turunan kedua (diferensiasi tingkat kedua) dari f(x)
f_double_prime <- function(x) {
  return(6)
}

# Contoh penggunaan fungsi-fungsi tersebut
x <- 4  # Nilai x yang ingin dihitung turunannya

# Turunan pertama
first_derivative <- f_prime(x)
cat("f'(x) =", first_derivative, "\n")
## f'(x) = 18
# Turunan kedua
second_derivative <- f_double_prime(x)
cat("f''(x) =", second_derivative, "\n")
## f''(x) = 6

Kode di atas akan menghitung turunan pertama f′(x)=6x−6 dan turunan kedua f′′(x)=6 dari fungsi f(x)=3x 2−6x+2 pada titik x=4. Anda dapat mengganti nilai x sesuai dengan yang Anda inginkan untuk menghitung turunannya.

Manfaat Diferensiasi Kedua

Diferensiasi kedua memiliki manfaat yang penting dalam berbagai konteks, termasuk:

  1. Analisis Percepatan: Diferensiasi kedua digunakan untuk mengukur percepatan atau laju perubahan laju perubahan dalam fisika, ilmu mesin, dan ilmu komputer.

  2. Analisis Kurva: Dalam matematika, turunan kedua membantu mengidentifikasi titik infleksi dan menggambarkan bentuk kurva fungsi.

  3. Optimisasi: Dalam pemrograman matematis, diferensiasi kedua digunakan untuk mengidentifikasi nilai maksimum atau minimum dalam fungsi, yang sering ditemukan dalam masalah optimisasi.

  4. Analisis Ekonomi: Diferensiasi kedua digunakan dalam analisis ekonomi untuk mengukur elastisitas dan mengidentifikasi titik titik keseimbangan dalam model ekonomi.

Kesimpulan

Diferensiasi kedua, atau diferensiasi tingkat kedua, adalah konsep penting dalam kalkulus yang memungkinkan kita untuk mengukur laju perubahan laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Ini memiliki banyak aplikasi dalam ilmu pengetahuan, teknik, dan matematika, dan membantu kita memahami aspek-aspek perubahan yang melibatkan percepatan dan dinamika. Dalam fisika, diferensiasi kedua adalah alat utama untuk mengukur pergerakan, percepatan, dan gaya dalam sistem fisika. Dalam matematika, turunan kedua membantu dalam analisis lebih lanjut tentang bentuk dan sifat kurva fungsi. Dalam ilmu ekonomi, ini digunakan untuk menganalisis perilaku konsumen dan perubahan dalam ekonomi.

Sumber

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.