Tarea N°7: Guía de trabajo sobre Componentes Principales

Ejercicio: Una empresa especializada en el diseño de automóviles de turismo desea estudiar cuáles son los deseos del público que compra automóviles. Para ello diseña una encuesta con 10 preguntas donde se le pide a cada uno de los 20 encuestados que valore de 1 a 5 si una característica es o no muy importante. Los encuestados deberán contestar con un 5 si la característica es muy importante, un4 si es importante, un 3 si tiene regular importancia, un 2 si es poco importante y un 1 si no es nada importante. Las 10 características (V1 a V10) a valorar son: precio, financiación, consumo, combustible, seguridad, confort, capacidad, prestaciones, modernidad y aerodinámica.

Literal a).

Calcula la matriz de varianza covarianza para la batería de indicadores:

1. De forma “manual”

Matriz de Información: X

library(dplyr)
library(kableExtra)
load("C:/Users/MINEDUCYT/Downloads/6-2.RData")
mat_X<-X6_2
mat_X %>% 
  head() %>%
  kable(caption ="Matriz de información:" ,
        align = "c",
        digits = 2) %>% 
  kable_material(html_font = "sans-serif")%>% 
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"))
Matriz de información:
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
4 1 4 3 3 2 4 4 4 4
5 5 4 4 3 3 4 1 1 3
2 1 3 1 4 2 1 5 4 5
1 1 1 1 4 4 2 5 5 4
1 1 2 1 5 5 4 3 3 2
5 5 5 5 3 3 4 2 2 1

Matriz de Variables Centradas:

library(dplyr)
library(kableExtra)
centrado<-function(x){
  x-mean(x)
}
X_centrada<-apply(X = mat_X,
                  MARGIN = 2,
                  centrado)
X_centrada %>%
  head() %>% 
  kable(caption ="Matriz de Variables centradas:",
        align = "c",
        digits = 2) %>% 
  kable_material(html_font = "sans-serif")%>% 
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"))
Matriz de Variables centradas:
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
0.3 -2.4 0.5 0.2 -0.7 -1.7 0.35 1.15 1.2 1.35
1.3 1.6 0.5 1.2 -0.7 -0.7 0.35 -1.85 -1.8 0.35
-1.7 -2.4 -0.5 -1.8 0.3 -1.7 -2.65 2.15 1.2 2.35
-2.7 -2.4 -2.5 -1.8 0.3 0.3 -1.65 2.15 2.2 1.35
-2.7 -2.4 -1.5 -1.8 1.3 1.3 0.35 0.15 0.2 -0.65
1.3 1.6 1.5 2.2 -0.7 -0.7 0.35 -0.85 -0.8 -1.65

Cálculo de V(x):

n_obs<-nrow(mat_X)
mat_V<-t(X_centrada)%*%X_centrada/(n_obs-1) 
mat_V %>% 
  kable(caption ="Cálculo de V(X) de forma manual:" ,
                align = "c",
                digits = 2) %>% 
  kable_material(html_font = "sans-serif") %>% 
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"))
Cálculo de V(X) de forma manual:
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
V1 1.80 1.92 1.32 1.73 -0.62 -0.31 0.36 -1.21 -1.27 -0.90
V2 1.92 2.67 1.42 2.14 -0.66 -0.14 0.52 -1.78 -1.81 -1.54
V3 1.32 1.42 1.42 1.53 -0.53 -0.32 0.29 -0.92 -1.11 -0.87
V4 1.73 2.14 1.53 2.48 -0.80 -0.48 0.35 -1.61 -1.83 -1.39
V5 -0.62 -0.66 -0.53 -0.80 0.85 0.80 0.21 0.37 0.46 0.15
V6 -0.31 -0.14 -0.32 -0.48 0.80 1.38 0.63 0.22 0.09 -0.37
V7 0.36 0.52 0.29 0.35 0.21 0.63 1.61 -0.53 -0.34 -0.71
V8 -1.21 -1.78 -0.92 -1.61 0.37 0.22 -0.53 1.92 1.81 1.37
V9 -1.27 -1.81 -1.11 -1.83 0.46 0.09 -0.34 1.81 2.17 1.56
V10 -0.90 -1.54 -0.87 -1.39 0.15 -0.37 -0.71 1.37 1.56 1.82

2. Usando el comando cov de R base

library(dplyr)
library(kableExtra)
cov(mat_X) %>% 
  kable(caption="Cálculo de V(X) Usando el comando cov de R base:",
        align = "c",
        digits = 2) %>% 
  kable_material(html_font = "sans-serif") %>% 
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"))
Cálculo de V(X) Usando el comando cov de R base:
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
V1 1.80 1.92 1.32 1.73 -0.62 -0.31 0.36 -1.21 -1.27 -0.90
V2 1.92 2.67 1.42 2.14 -0.66 -0.14 0.52 -1.78 -1.81 -1.54
V3 1.32 1.42 1.42 1.53 -0.53 -0.32 0.29 -0.92 -1.11 -0.87
V4 1.73 2.14 1.53 2.48 -0.80 -0.48 0.35 -1.61 -1.83 -1.39
V5 -0.62 -0.66 -0.53 -0.80 0.85 0.80 0.21 0.37 0.46 0.15
V6 -0.31 -0.14 -0.32 -0.48 0.80 1.38 0.63 0.22 0.09 -0.37
V7 0.36 0.52 0.29 0.35 0.21 0.63 1.61 -0.53 -0.34 -0.71
V8 -1.21 -1.78 -0.92 -1.61 0.37 0.22 -0.53 1.92 1.81 1.37
V9 -1.27 -1.81 -1.11 -1.83 0.46 0.09 -0.34 1.81 2.17 1.56
V10 -0.90 -1.54 -0.87 -1.39 0.15 -0.37 -0.71 1.37 1.56 1.82

Literal b).

Calcula la matriz de correlación para la batería de indicadores:

1. De forma “manual”

Matriz de Variables Estandarizadas:

Zx<-scale(x = mat_X,center =TRUE)
Zx %>%
  head() %>% 
  kable(caption ="Matriz de Variables Estandarizadas:",
        align = "c",
        digits = 2) %>% 
  kable_material(html_font = "sans-serif")%>% 
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"))
Matriz de Variables Estandarizadas:
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
0.22 -1.47 0.42 0.13 -0.76 -1.45 0.28 0.83 0.81 1.00
0.97 0.98 0.42 0.76 -0.76 -0.60 0.28 -1.33 -1.22 0.26
-1.27 -1.47 -0.42 -1.14 0.32 -1.45 -2.09 1.55 0.81 1.74
-2.01 -1.47 -2.10 -1.14 0.32 0.26 -1.30 1.55 1.49 1.00
-2.01 -1.47 -1.26 -1.14 1.41 1.11 0.28 0.11 0.14 -0.48
0.97 0.98 1.26 1.40 -0.76 -0.60 0.28 -0.61 -0.54 -1.22

Cálculo de R(X) forma manual:

n_obs<-nrow(mat_X)
mat_R<-t(Zx)%*%Zx/(n_obs-1) 
mat_R %>% 
  kable(caption ="Cálculo de R(X) forma manual:" ,
                align = "c",
                digits = 2) %>% 
  kable_material(html_font = "sans-serif") %>% 
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"))
Cálculo de R(X) forma manual:
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
V1 1.00 0.87 0.82 0.82 -0.50 -0.19 0.21 -0.65 -0.64 -0.50
V2 0.87 1.00 0.73 0.83 -0.44 -0.07 0.25 -0.78 -0.75 -0.70
V3 0.82 0.73 1.00 0.81 -0.48 -0.23 0.19 -0.56 -0.63 -0.54
V4 0.82 0.83 0.81 1.00 -0.55 -0.26 0.17 -0.74 -0.79 -0.65
V5 -0.50 -0.44 -0.48 -0.55 1.00 0.74 0.18 0.29 0.34 0.12
V6 -0.19 -0.07 -0.23 -0.26 0.74 1.00 0.42 0.13 0.05 -0.24
V7 0.21 0.25 0.19 0.17 0.18 0.42 1.00 -0.30 -0.18 -0.41
V8 -0.65 -0.78 -0.56 -0.74 0.29 0.13 -0.30 1.00 0.89 0.73
V9 -0.64 -0.75 -0.63 -0.79 0.34 0.05 -0.18 0.89 1.00 0.78
V10 -0.50 -0.70 -0.54 -0.65 0.12 -0.24 -0.41 0.73 0.78 1.00

2. Usando el comando cor de R base

library(dplyr)
library(kableExtra)
cor(mat_X) %>% 
  kable(caption="Cálculo de R(X) usando el comando cor de R base:",
        align = "c",
        digits = 2) %>% 
  kable_material(html_font = "sans-serif") %>% 
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"))
Cálculo de R(X) usando el comando cor de R base:
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
V1 1.00 0.87 0.82 0.82 -0.50 -0.19 0.21 -0.65 -0.64 -0.50
V2 0.87 1.00 0.73 0.83 -0.44 -0.07 0.25 -0.78 -0.75 -0.70
V3 0.82 0.73 1.00 0.81 -0.48 -0.23 0.19 -0.56 -0.63 -0.54
V4 0.82 0.83 0.81 1.00 -0.55 -0.26 0.17 -0.74 -0.79 -0.65
V5 -0.50 -0.44 -0.48 -0.55 1.00 0.74 0.18 0.29 0.34 0.12
V6 -0.19 -0.07 -0.23 -0.26 0.74 1.00 0.42 0.13 0.05 -0.24
V7 0.21 0.25 0.19 0.17 0.18 0.42 1.00 -0.30 -0.18 -0.41
V8 -0.65 -0.78 -0.56 -0.74 0.29 0.13 -0.30 1.00 0.89 0.73
V9 -0.64 -0.75 -0.63 -0.79 0.34 0.05 -0.18 0.89 1.00 0.78
V10 -0.50 -0.70 -0.54 -0.65 0.12 -0.24 -0.41 0.73 0.78 1.00

3. Presenta la matriz de correlación de forma gráfica.

Usando el paquete PerformanceAnalytics

library(PerformanceAnalytics)
chart.Correlation(as.matrix(mat_X),histogram = TRUE,pch=12)

Usando el paquete corrplot

library(corrplot)
library(grDevices)
library(Hmisc)
Mat_R<-rcorr(as.matrix(mat_X))
corrplot(Mat_R$r,
         p.mat = Mat_R$r,
         type="upper",
         tl.col="black",
         tl.srt = 20,
         pch.col = "blue",
         insig = "p-value",
         sig.level = -1,
         col = terrain.colors(100))

Literal c).

Realiza un análisis de componentes principales, y con base en los criterios vistos en clase:

a. ¿Cuántas Componentes habría que retener?

R// Segun los siguientes criterios:

Criterio del porcentaje acumulado de la varianza o criterio de los 3/4: establece que se deben retener suficientes componentes o dimensiones para explicar al menos el 75% de la varianza de los datos originales. En este caso se retienen dos dimensiones que explican el 77.70%.Dimensión 1 y Dimensión 2.

Criterio de raíz latente: establece que solo se deben retener aquellos componentes cuyo autovalor sea superior a 1 o, por lo menos igual a 1. En este caso y segun este criterio se deben de retener las dimensiones 1 y 2.

Criterio de Elbow: en el gráfico de sedimentación se identifica un punto de codo el cual indica cuantas dimensiones se deben de retener.En este caso se debe de retener las dimensiones 1, 2 y 3.

Conclusión: Los criterios que coinciden son el criterio de 3/4 y el criterio de raiz latente, existe discrepancia en el criterio elbow, tomando en cuenta que por el criterio 3/4 al retener la dimensión 1 y dimensión 2 se explica el 77.70% la varianza de los datos originales, entonces en respuesta a la pregunta se deben de retener la Dimensión 1 y Dimensión 2, dos componentes.

b. Incluye las tablas y gráficos vistos en clase.

library(dplyr)
library(factoextra)
library(kableExtra)
library(stargazer)
library(ggplot2)
options(scipen = 99999)
PC<-princomp(x = mat_X,cor = TRUE,fix_sign = FALSE)
factoextra::get_eig(PC) %>% kable(caption="Resumen de PCA",
        align = "c",
        digits = 2) %>% 
  kable_material(html_font = "sans-serif") %>% 
  kable_styling(bootstrap_options = c("hover"))
Resumen de PCA
eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
Dim.1 5.70 57.01 57.01
Dim.2 2.07 20.69 77.70
Dim.3 0.72 7.20 84.91
Dim.4 0.55 5.48 90.39
Dim.5 0.32 3.16 93.54
Dim.6 0.27 2.71 96.25
Dim.7 0.15 1.46 97.72
Dim.8 0.13 1.28 99.00
Dim.9 0.07 0.68 99.68
Dim.10 0.03 0.32 100.00 
fviz_eig(PC,
         choice = "eigenvalue",
         barcolor = "red",
         barfill = "red",
         addlabels = TRUE, 
       )+labs(title = "Gráfico de Sedimentación",subtitle = "Usando princomp, con Autovalores")+
  xlab(label = "Componentes")+
  ylab(label = "Autovalores")+geom_hline(yintercept = 1)

fviz_eig(PC,
         choice = "variance",
         barcolor = "green",
         barfill = "green",
         addlabels = TRUE,
       )+labs(title = "Gráfico de Sedimentación",
              subtitle = "Usando princomp, con %Varianza Explicada")+
  xlab(label = "Componentes")+
  ylab(label = "%Varianza")