Konsep Dasar Optimasi

Optimasi dalam kalkulus adalah proses mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi matematika. Tujuan utama optimasi adalah untuk menemukan titik di mana turunan pertama fungsi tersebut sama dengan nol, atau yang disebut dengan titik kritis. Titik kritis ini dapat mewakili nilai maksimum (puncak) atau minimum (lembah) dari fungsi, tergantung pada bentuknya dan kondisi yang berlaku. Untuk menentukan apakah titik tersebut merupakan maksimum atau minimum, kita menggunakan turunan kedua dan uji kriteria seperti uji kedua turunan. Ini merupakan konsep dasar dalam kalkulus yang digunakan dalam berbagai bidang seperti ekonomi, fisika, dan rekayasa untuk mengoptimalkan berbagai masalah.

Rumus umum untuk menentukan titik kritis adalah:

f’(x) = 0

Contoh penerapan optimasi

1.Fungsi Biaya:
Misalkan Anda memiliki sebuah perusahaan yang memproduksi tas, dan Anda ingin mengoptimalkan biaya produksi tas. Biaya produksi (C)/Cost dapat dijelaskan sebagai fungsi berikut:

C(x) = \(2x^2\) - 8x +20

Di mana:

· C(x) adalah biaya produksi dalam dolar($).
· x adalah jumlah tas yang diproduksi.

Langkah-langkah Optimasi:

a.Turunkan Fungsi Biaya

Untuk mencari titik dimana biaya produksi minimal, maka perlu untuk menghitung turunan pertama fungsi biaya terhadap x. Ini akan memberikan gradien biaya.

C(x) = \(2x^2\) - 8x +20 —> C’(x) = 4x - 8
b.Cari Titik Kritis
Titik kritis adalah titik dimana gradien(turunan pertama) sama dengan nol. Untuk mencari titik-titik ini, atur C’(x) = 0 dan selesaikan persamaanya. 4x - 8 = 0
4x = 8
x = 2
Jadi, x = 2 adalah titik kritis.
c.Cek Apakah Titik Minimum atau Maksimum
Untuk menentukan apakah titik kritis tersebut minimum atau maksimum, dapat menggunakan turunan kedua(gradien kedua). Turunkan fungsi biaya untuk kedua kalinya. C”(x) = 4
jika C”(x) > 0, maka minimum.
jika C”(x) < 0, maka maksimum.
Dalam kasus ini, C”(x) = 4 > 0
Sehingga x = 2 adalah titik minimum.
d.Tentukan Biaya Minimum

Setelah menemukan nilai x yang memberikan biaya minimum, substitusikan nilai x ke dalam fungsi biaya asli untuk menentukan biaya minimumnya.
C(x) = \(2x^2\) - 8x +20
C(2) = 2(\(2^2\)) - 8(2) + 20
C(2) = 8 - 16 + 20
C(2) = 12

Jadi, biaya produksi minimum adalah $12 saat memroduksi 2 tas.

Dengan demikian, langkah-langkah ini memberikan informasi tentang jumlah tas yang harus diproduksi untuk mencapai biaya produksi minimum, yang dalam contoh ini adalah 2 tas dengan biaya $12

2.Fungsi Keuntungan
Misalkan Anda memiliki bisnis yang menjual suatu produk dan ingin mengoptimalkan keuntungan. Fungsi keuntungan(P) dapat dijelaskan sebagai berikut.

P(x) = \(-x^2\) + 100x - 200

dimana:
· P(x) adalah keuntungan dalam dolar.
· x adalah jumlah produk yang dijual.

Langkah-langkah Optimasi:

a.Turunkan Fungsi Keuntungan
Untuk mencari titik dimana keuntungan maksimal, maka perlu menghitung turunan pertama fungsi keuntungan terhadap x.
Ini akan memberikan gradien keuntungan.
P’(x) = -2x + 100
b.Cari Titik Kritis
Titik kritis adalah titik dimana gradien(turunan pertama) sama dengan nol.
Atur P’(x) = 0 dan selesaikan persamaanya.
-2x + 100 = 0
-2x = -100
x = 50
Jadi, x = 50 adalah titik kritis. 
c.Cek Apakah Titik Minimum atau Maksimum
Untuk menentukan titik kritis tersebut adalah minimum atau maksimum, maka dapat menggunakan turunan kedua(gradien kedua). Turunkan fungsi keuntungan kedua kalinya.
P”(x) = -2
Dalam kasus ini, P”(x) adalah konstan negatif(-2) yang berarti bahwa x = 50 adalah titik maksimum keuntungan.
d.Tentukan Keuntungan Maksimal
Setelah menemukan x yang memberikan keuntungan maksimal. Substitusikan nilai x ini ke dalam fungsi keuntungan asli untuk menentukan keuntungan maksimalnya.
P(x) = \(-x^2\) + 100x - 200
P(50) = -(\(50^2\)) + 100(50) - 200
P(50) = -2500 + 5000 - 200
P(50) = 2300 

Jadi, keuntungan maksimalnya adalah $2.300 saat menjual 50 produk.

Referensi:
https://casperdilluna.wordpress.com/2020/06/20/maksimum-dan-minimum-turunan-fungsi/