Tiras una moneda y un dado (ambos perfectos) al mismo tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar cara o un 6?
Sea A = “evento de sacar cara” y B = “evento de sacar 6”. El evento “sacar cara ó un 6” es la unión de los eventos A y B. Por lo tanto, podemos usar la ecuación de la probabilidad de la unión: \[P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\] Conocemos las probabilidades de A y B: \[P(A) = \frac{1}{2}\] \[P(B) = \frac{1}{6}\]
Además, es un supuesto razonable que la moneda y el dado son independientes, pues no hay nada que los conecte entre sí. Por lo tanto, A y B son independientes, y entonces podemos calcular la probabilidad de su intersección, mediante la fórmula de independencia de eventos:
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\] \[\therefore P(A \cap B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\] Entonces:
\[P(A\cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12}\] \[\therefore P(A\cup B) = \frac{6+2-1}{12}\] \[\therefore P(A\cup B) = \frac{7}{12} = 0,5833\]
Al tirar una moneda 10 veces, podemos representar las caras que salen por un vector de largo r ≤ 10. Por ejemplo, el vector de largo 4: (2, 5, 7, 8) significa que “cara” salió en las tiradas número 2, 5, 7 y 8. ¿De cuantas maneras distintas puede salir “cara” 4 veces?
Un vector general: \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) significa que salió cara en las tiradas número \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\). No cumple la condición de tupla, en el sentido que cada \(x_i\) no puede repetirse, ya que cada tirada se realiza solamente una vez. Por otro lado, cambiar el orden de \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\) no cambia la configuración de caras que salió; entonces claramente cada vector es una combinación de números y no una permutación. Por lo tanto podemos aplicar la fórmula de combinaciones, \(C(n, r)\), con n = 10 y r = 4: \[C((n,r) = C(10,\ 4) = \frac{10!}{(10-4)!4!} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{5040}{24} = 210\]
En un país se titulan cada año 120.000 estudiantes. Si la población del país es 18 millones, podemos decir que la probabilidad general de que un habitante cualquiera del país se titule en cada año es: \[\frac{120.000}{18.000.000}\] Si cada año ingresan 300.000 estudiantes a la universidad, la probabilidad general de ingresar es: \[\frac{300.000}{18.000.000}\] ¿Cuál es la probabilidad de titularse para una persona que ya ingresó? Redondea tu respuesta a 2 decimales.
Este es un problema de probabilidad condicional, ya que nos está preguntando sobre la probabilidad de una persona que cumple una condición: “ya ingresó”.
Sean:
T = Evento de titularse
U = Evento de ingresar a la universidad
S = Espacio muestral = Habitantes del país
Entonces la pregunta pide \(P(T|U)\).
Aplicamos la definición de probabilidad condicional:
\[P(T|U) = \frac{P(T \cap U)}{P(U)} \ldots(1)\] Claramente: \[T \cap U = Estudiantes \ que \ se \ titulan\] La probabilidad de este evento está dada en el enunciado: \[P(T \cap U) = \frac{|T \cap U|}{|S|} = \frac{120.000}{18.000.000} = \frac{1}{150}\] Y \(P(U)\) también está dada en el enunciado:
\[P(U) = \frac{300.000}{18.000.000} = \frac{1}{60}\]
Entonces, reemplazando en la ecuación (1): \[P(T|E) = \frac{1/150}{1/60} = \frac{1}{150} \cdot \frac{60}{1} = \frac{2}{5} = 0,4\]
Una universidad tiene 7.000 estudiantes. De este total, 900 estudian la carrera de Ingeniería Comercial. Los estudiantes de esta carrera tienen una probabilidad de 80% de emprender con una empresa propia al titularse. Al entrevistar al azar a un estudiante de esta universidad, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la carrera de Ingeniería Comercial y además sea emprendedor al titularse? Redondea tu respuesta a 2 decimales.
Sean:
E = Evento de emprender
I = Evento de ser de Ingeniería Comercial
La pregunta pide la probabilidad de dos eventos que se den en forma simultánea: I y E, esto es: \(I \cap E\). Además, en el enunciado está dada la probabilidad condicional de emprender dado que el estudiante es de Ingeniería Comercial: \(P(E|I) = 80\%\). Por la definición de probabilidad condicional:
\[P(E|I) = \frac{P(E\cap I)}{P(I)}\] \(P(E \cap I)\) es lo que nos pide la pregunta. Entonces reordenamos:
\[P(E\cap I) = P(E|I) \cdot P(I)\] \(P(I)\) es la probabilidad de estar en la carrera de Ingeniería Comercial, y esto se calcula de la definición clásica: \[P(I) = \frac{Cantidad \ de \ Estudiantes \ de \ Ingeniería \ Comercial}{Cantidad \ Total \ de \ Estudiantes} = \frac{900}{7.000} = \frac{9}{70}\]
\[\therefore P(E\cap I) = 0,8 \cdot \frac{9}{70} = 0,1\]