Kuantitas matematis adalah jumlah. Bagaimana kita mengukur jumlah tergantung pada jenis barang yang kita ukur. Hal-hal dunia nyata mungkin massa atau waktu atau panjang. Sama baiknya bisa berupa kecepatan atau volume atau momentum atau hasil jagung tahunan per hektar. Kita hidup di dunia hal-hal seperti itu, beberapa di antaranya nyata (misalnya, jagung, massa, kekuatan) dan beberapa di antaranya lebih sulit untuk mendapatkan tangan dan pikiran Anda di sekitar (akselerasi, hasil panen, ekonomi bahan bakar). Penggunaan kalkulus yang penting adalah membantu kita mengkonseptualisasikan hal-hal abstrak sebagai komposisi matematika dari hal-hal yang lebih sederhana. Misalnya, hasil panen menggabungkan massa dengan panjang dan waktu. Kemudian, Anda akan melihat kami menggunakan dimensi istilah yang terdengar lebih ilmiah daripada “barang.”
Kebanyakan orang cenderung berpikir “kuantitas” sama dengan “angka”. Ini bisa dimengerti tetapi salah arah. Dengan sendirinya angka tidak ada artinya. Apa arti angka 5 tanpa konteks yang lebih banyak? Kuantitas, di sisi lain, menggabungkan angka dengan konteks yang sesuai untuk menggambarkan sejumlah barang.
Hal pertama yang perlu Anda ketahui tentang kuantitas apa pun adalah jenis barang yang dijelaskannya. “Mil” adalah semacam hal: panjang. Satu meter adalah jenis barang yang sama: panjang. Satu liter adalah jenis barang yang berbeda: volume. Satu galon dan satu acre-foot adalah jenis barang yang sama: volume. Tapi satu inci (panjang) bukanlah jenis barang yang sama dengan satu jam (waktu).
“Barang,” seperti yang kami maksud di sini, adalah apa yang kami ukur. Seperti yang Anda ketahui, kami mengukur dengan satuan. Unit yang sesuai tergantung pada jenis barang. Meter, mil, dan mikron adalah satuan panjang yang sesuai, meskipun panjang sebenarnya dari satuan ini sangat berbeda. (Satu mil kira-kira 1,6 juta milimeter.)
Hanya setelah Anda mengetahui satuan, angka tersebut memiliki arti sebagai kuantitas: angka hanyalah bagian dari menentukan kuantitas.
Inilah perbedaan yang menonjol antara angka dan kuantitas dalam hal kalkulus: Segala macam aritmatika dan operasi matematika lainnya berlaku untuk angka: penambahan, perkalian, akar kuadrat, dll. Tetapi untuk kuantitas, hanya perkalian dan pembagian yang diizinkan secara universal. Untuk penjumlahan dan pengurangan, akar kuadrat, dan semacamnya, operasi hanya masuk akal jika dimensinya cocok.
Matematika satuan dan dimensi bagi dunia teknis adalah akal sehat dalam dunia kita sehari-hari. Misalnya (dan ini mungkin tidak masuk akal pada saat ini), jika orang mengatakan kepada saya bahwa mereka mengambil akar kuadrat dari 10 liter, saya segera tahu bahwa mereka hanya salah atau bahwa mereka belum memberi tahu saya elemen-elemen penting dari situasi tersebut. Seolah-olah seseorang berkata, “Saya berenang melintasi lapangan tenis.” Anda tahu orang itu menggunakan kata kerja yang salah — berjalan atau berlari akan berhasil — atau bahwa itu bukan lapangan tenis, atau bahwa sesuatu yang penting tidak disebutkan, mungkin, “Selama banjir, saya berenang melintasi lapangan tenis.”
Fungsi, dalam arti matematika dan komputasi mereka, adalah pusat kalkulus. Pengantar Blok Pendahuluan ini dimulai, “Kalkulus adalah tentang perubahan, dan perubahan adalah tentang hubungan.” Ide fungsi matematika memberikan perspektif yang pasti tentang hal ini. Hubungan yang diwakili oleh fungsi adalah antara input fungsi dan output fungsi. Input mungkin hari-tahun1 dan curah hujan kumulatif keluaran hingga hari itu. Setiap hari hujan, curah hujan kumulatif meningkat.
Fungsi adalah konsep matematika untuk mengambil satu atau lebih input dan mengembalikan output. Dalam kalkulus, kita akan berurusan terutama dengan fungsi yang mengambil satu atau lebih kuantitas sebagai input dan mengembalikan kuantitas lain sebagai output.
Tetapi kadang-kadang kita akan bekerja dengan fungsi yang mengambil fungsi sebagai input dan mengembalikan kuantitas sebagai output. Dan bahkan akan ada fungsi yang mengambil fungsi sebagai input dan mengembalikan fungsi sebagai output.
Dalam definisi seperti \(f(x) \equiv \sqrt{\strut x}\) sebagai nama input. Sejauh menyangkut definisi, \(x\) hanyalah sebuah nama. Kita bisa saja menggunakan nama lain; Hanya konvensi yang menuntun kita untuk memilih \(x\) .Definisi itu bisa sama baiknya \(f(y) \equiv \sqrt{\strut y}\) atau \(f(zebra) \equiv \sqrt{\strut zebra}\) .
Notasi seperti \(f(x)\) juga digunakan untuk sesuatu yang sama sekali berbeda dari definisi. Secara khusus, \(f(x)\) bisa berarti menerapkan fungsi \(f()\) ke kuantitas bernama \(x\) . Anda selalu dapat mengetahui mana yang dimaksudkan—definisi fungsi atau penerapan fungsi—dengan apakah Tanda terlibat dalam ekspresi.
Salah satu tanda akrab menerapkan fungsi adalah ketika isi tanda kurung bukan nama simbolis tetapi angka. Misalnya, ketika kita menulis \(\sin (7.3)\) Kami memberikan nilai numerik \(7.3\) ke fungsi sinus. Fungsi sinus kemudian melakukan perhitungannya dan mengembalikan nilai 0,8504366. Dengan kata lain, \(\sin (7.3)\) sama sekali setara dengan 0,8504366.
Sebaliknya, menggunakan nama di atasnya sendiri di dalam tanda kurung menunjukkan bahwa nilai spesifik untuk input sedang ditentukan di tempat lain. Misalnya, ketika mendefinisikan fungsi kita sering akan menggabungkan dua atau lebih fungsi, seperti ini:
\(g(x) \equiv \exp(x) \sin(x)\)
atau
\(h(y,z) \equiv \ln(z) \left(\strut\sin(z) - \cos(y)\right)\ .\)
Si \(y\) dan \(z\) Di sisi kiri definisi adalah nama-nama input untuk \(h()\). 2 Sisi kanan menjelaskan bagaimana membangun output, yang sedang dilakukan dengan menerapkan \(\ln ()\), \(\sin()\), dan \(\cos()\) ke input. Menggunakan nama di sisi kanan memberi tahu kita fungsi mana yang diterapkan pada input mana. Kita tidak akan tahu apa nilai-nilai spesifik yang akan dimiliki input tersebut sampai fungsinya \(h()\) sedang diterapkan pada input, seperti dengan
\(h(y=1.7,z=3.2)\) .
Setelah kita memiliki input spesifik, kita (atau komputer) dapat menghubungkannya ke sisi kanan definisi untuk menentukan output fungsi:
\(\ln(3.2)\left(\sin(3.2) - \strut \cos(1.7)\right) = 1.163(-0.0584 + 0.1288) =-0.2178\ .\)
Kami katakan sebelumnya bahwa fungsi yang digunakan dalam kalkulus mengambil kuantitas sebagai input dan menghasilkan kuantitas sebagai output. Kami juga mengatakan bahwa kuantitas adalah sesuatu seperti “2 tahun cahaya” atau “150 watt”. Sekarang kami ingin menghubungkan konsep baru ke input dan output: konsep ruang.
Sebuah ruang3 adalah kumpulan kemungkinan berkelanjutan. Seorang anak yang belajar tentang angka dimulai dengan “menghitung angka”: \(1, 2, 3, \ldots\). Di sekolah dasar, kumpulan angka diperluas untuk memasukkan nol dan angka negatif: \(-1,-2,-3, \ldots\), memberikan satu set yang disebut “bilangan bulat.” Menghitung angka dan bilangan bulat adalah set diskrit. Antara dua anggota berturut-turut dari angka penghitungan atau bilangan bulat, tidak ada nomor lain dari himpunan.
Langkah selanjutnya dalam pendidikan matematika anak adalah “bilangan rasional,” yaitu angka yang ditulis sebagai rasio: \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \ldots, \frac{22}{7}\), dan sebagainya. Bilangan rasional cocok di ruang antara bilangan bulat. Artinya, di antara dua bilangan bulat, bahkan yang berurutan, ada bilangan rasional. Misalnya, bilangan rasional \(\frac{1}{2}\) jatuh antara 0 dan 1.
Di antara dua bilangan rasional, ada bilangan rasional lain, memang ada bilangan rasional yang tak terbatas. Misalnya, antara \(\frac{1}{2}\) dan \(\frac{2}{3}\) sedang \(\frac{6}{11}\) ( dan banyak lainnya, seperti \(\frac{7}{11}\) atau \(\frac{13}{21}\) ). Hal ini berguna untuk memikirkan bilangan rasional sebagai pas di ruang antara bilangan bulat.
Jika Anda tidak menemukan kata “ruang” dalam kalimat sebelumnya, Anda sedang dalam perjalanan untuk memahami apa yang dimaksud dengan “kontinu.” Misalnya, di antara dua bilangan rasional ada bilangan rasional lain. Pikirkan bilangan rasional sebagai batu loncatan yang menyediakan jalur dari bilangan apa pun ke bilangan lainnya.
Ini adalah pertanyaan mendalam apakah bilangan rasional adalah jalan setapak alih-alih batu loncatan yang terisolasi? Jalan setapak adalah struktur tempat Anda dapat memindahkan jumlah berapa pun, tidak peduli seberapa kecil, tanpa risiko keluar dari struktur. Sebaliknya, gerakan yang terlalu kecil di sepanjang jalur batu loncatan akan menempatkan Anda di dalam air.
Set kontinu seperti jalan setapak; Betapapun sedikit Anda bergerak dari elemen set, Anda akan tetap berada di set. Himpunan angka kontinu sering disebut garis bilangan, meskipun nama yang lebih formal adalah bilangan real. (“Nyata” adalah pilihan kata yang tidak menguntungkan, tetapi kita terjebak dengannya.)
Metafora yang mendasari di sini adalah ruang. Di antara dua titik di ruang angkasa, ada titik lain di ruang angkasa. Kami akan bekerja dengan beberapa ruang yang berbeda, misalnya:
Garis bilangan: semua bilangan real
Bilangan positif: bilangan real lebih besar dari nol
Bilangan non-negatif: Ini adalah perpanjangan kecil terkecil dari bilangan positif yang menambahkan nol ke himpunan.
Interval tertutup, seperti angka antara 5 dan 10, yang akan kita tulis seperti ini: \(5 \leq x \leq 10\) mana \(x\) adalah nama yang kami berikan ke lokasi syuting.
Bidang Cartesian: semua pasangan bilangan real seperti \((5.62, -0.13)\). Metafora lain untuk ini: titik-titik pada selembar kertas atau layar komputer.
Ruang koordinat tiga dimensi seperti dunia tiga dimensi kita sehari-hari, umumnya ditulis sebagai satu set tiga bilangan real seperti \((-2.14, 6.87, 4.03)\).
Ruang dimensi yang lebih tinggi, tetapi kita tidak akan pergi ke sana sampai bagian terakhir buku ini.
Keistimewaan kalkulus adalah menggambarkan hubungan antara set kontinu. Fungsi seperti \(\sin()\) atau \(\text{line}()\), yang khas dari fungsi yang kita pelajari dalam kalkulus, mengambil angka sebagai input.
Setiap fungsi memiliki satu set input yang sah. Untuk fungsi yang dipelajari dalam kalkulus, himpunan ini kontinu: spasi. Nama yang diberikan untuk ruang fungsi input yang sah adalah domain fungsi. Fungsi seperti \(\sin()\) dan banyak lainnya memiliki seluruh rangkaian bilangan real sebagai domain fungsi. Fungsi akar kuadrat memiliki angka non-negatif untuk domainnya. Fungsi logaritmik, \(\ln()\), memiliki domain bilangan positif.
Sama seperti “domain” adalah kumpulan input yang sah untuk suatu fungsi, rentang fungsi adalah kumpulan nilai yang dapat dihasilkan fungsi sebagai output. Misalnya, kisaran \(\sin()\) adalah angka antara \(-1\) dan \(1\) yang biasanya akan kita tulis dalam format ini: \(-1 \leq x \leq 1\). Contoh lain: kisaran \(\ln()\) adalah seluruh ruang bilangan real.