Exercício 1

Um fio de água sai de uma torneira com uma taxa de fluxo de 0,1Ls\(^{-1}\). O diâmetro da torneira é igual a 2 cm. A 4 cm abaixo da torneira, a velocidade do fluxo é de 80 cm / s. Qual é a velocidade da água? Qual é o diâmetro da linha de água 4 cm abaixo da torneira?

Solução

Para encontrar a velocidade da água, podemos usar a equação de continuidade, que estabelece que o fluxo volumétrico é constante em um sistema de escoamento incompressível.

O fluxo volumétrico (\(Q\)) é dado pela fórmula: \[Q = A \times v\]

Onde: \(Q\) é o fluxo volumétrico, \(A\) é a área da secção transversal, \(v\) é a velocidade da água.

Temos um fluxo de \(0,1 \, \text{L/s}\), o que é equivalente a \(0,1 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}\).

Para encontrar a área da secção transversal, podemos usar a fórmula da área de um círculo: \[A = \pi \times r^2\]

O diâmetro da torneira é \(2 \, \text{cm}\), então o raio (\(r\)) é \(1 \, \text{cm}\) ou \(0,01 \, \text{m}\).

Calculemos a área da secção transversal: \[A = \pi \times (0,01 \, \text{m})^2\]

Agora, podemos encontrar a velocidade da água: \[v = \frac{Q}{A}\] \[v = \frac{0,1 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}}{\pi \times (0,01 \, \text{m})^2}\] \[v \approx 0,318 \, \text{m/s}\]

Assim, a velocidade da água é de aproximadamente \(0,318 \, \text{m/s}\).

Peço desculpa pelo erro. Vamos considerar a correção.

Para encontrar o diâmetro do fio de água 4 cm abaixo da torneira, podemos usar a conservação do fluxo volumétrico.

O fluxo volumétrico (\(Q\)) permanece constante em todos os pontos de um escoamento incompressível.

Temos um fluxo de \(0,1 \, \text{L/s}\), o que é equivalente a \(0,1 \times 10^{-3}\, \text{m}^3/\text{s}\).

A 4 cm abaixo da torneira, a velocidade do escoamento é de \(80 \, \text{cm/s}\).

Para encontrar o diâmetro do fio de água, podemos usar a fórmula da área de um círculo: \(A = \pi \times r^2\).

Podemos rearranjar a equação do fluxo volumétrico para obter a área da secção transversal (\(A\)) em função da velocidade da água (\(v\)):

\[A = \frac{Q}{v}\]

\[A = \frac{0,1 \times 10^{-3}\, \text{m}^3/\text{s}}{80\, \text{cm/s}}\]

\[A \approx 1,25 \times 10^{-4}\, \text{m}^2\]

Agora, podemos encontrar o diâmetro do fio de água:

\[\text{Diâmetro} = 2 \times \sqrt{\frac{A}{\pi}}\]

\[\text{Diâmetro} \approx 2 \times \sqrt{\frac{1,25 \times 10^{-4}\, \text{m}^2}{\pi}}\]

\[\text{Diâmetro} \approx 0,0126\, \text{m} \quad \text{ou} \quad 1,26\, \text{cm}\]

Assim, o diâmetro do fio de água 4 cm abaixo da torneira é de aproximadamente \(1,26 \, \text{cm}\).

Exercício 2

Verificou-se que um líquido de densidade 800 Kg/m\(^3\) tem uma velocidade de 4 m/s num ponto onde a pressão é de 2 N/cm\(^2\). Para um ponto do tubo localizado numa área cuja área de seção transversal é duas vezes a anterior e a altura é de 20 cm acima, determine: velocidade do fluxo e a pressão.

Solução

Para encontrar a velocidade do fluxo na área com uma área de secção duas vezes maior, podemos usar o princípio da conservação do fluxo volumétrico.

O fluxo volumétrico (\(Q\)) é constante num escoamento incompressível. É dado pela fórmula: \(Q = A \times v\), onde \(A\) é a área da secção transversal e \(v\) é a velocidade do fluxo.

Suponhamos que a área da secção da primeira zona seja \(A_1\) e a velocidade do fluxo seja \(v_1\). Na segunda zona, a área da secção é o dobro de \(A_1\), ou seja, \(2A_1\). Precisamos encontrar a velocidade do fluxo nesta zona, \(v_2\).

Como o fluxo volumétrico é constante, temos: \(Q_1 = Q_2\).

\(A_1 \times v_1 = 2A_1 \times v_2\)

\(v_1 = 2v_2\)

Portanto, a velocidade do fluxo na segunda zona é metade da velocidade do fluxo na primeira zona.

Agora, para encontrar a pressão na segunda zona, podemos usar o princípio de Bernoulli, que estabelece que a soma da pressão estática, da pressão dinâmica e da pressão hidrostática é constante ao longo de um escoamento de fluido sem atrito.

\[P_1 + 0,5 \times \rho \times v_1^2 + \rho \times g \times h_1 = P_2 + 0,5 \times \rho \times v_2^2 + \rho \times g \times h_2\]

Como a pressão na primeira zona é dada (\(2 \, \text{N/cm}^2\)), a velocidade na segunda zona é metade da velocidade na primeira zona, e a altura na segunda zona está \(20 \, \text{cm}\) acima da primeira zona, podemos simplificar a equação da seguinte forma:

\[2 \, \text{N/cm}^2 + 0,5 \times 800 \, \text{kg/m}^3 \times (4 \, \text{m/s})^2 + 800 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \times 0 \, \text{m} = \] \[= P_2 + 0,5 \times 800 \, \text{kg/m}^3 \times (2 \, \text{m/s})^2 + 800 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \times 0,2 \, \text{m} \Rightarrow\]

\[ \Rightarrow P_2 = 23232 \, \text{N/m}^2\]

Portanto, a pressão na segunda zona é aproximadamente \(23232 \, \text{N/m}^2\).

Exercício 3

Um sistema intravenoso fornece solução salina a um paciente com um fluxo de 0,120 cm\(^3\)/s através de uma agulha de 0,15 mm de raio e 2,50 cm de comprimento. Qual é a pressão necessária para a entrada da agulha para manter esse fluxo, assumindo que a viscosidade da solução salina é a mesma que a da água (0,01 Poise)? A pressão arterial na veia do paciente é de 8 mmHg.

Solução

Para resolver este problema, podemos usar a Lei de Poiseuille, que descreve o fluxo de um fluido viscoso através de um tubo longo. A Lei de Poiseuille é a seguinte:

\[Q = \frac{\pi \times r^4 \times \Delta P}{8 \times \eta \times L}\]

Onde \(Q\) é o fluxo, \(r\) é o raio do tubo, \(\Delta P\) é a diferença de pressão ao longo do tubo, \(\eta\) é a viscosidade do fluido e \(L\) é o comprimento do tubo.

Estamos tentando encontrar a pressão necessária na entrada da agulha (\(P_1\)), então reorganizamos a Lei de Poiseuille para resolver \(\Delta P\):

\[\Delta P = \frac{8 \times \eta \times L \times Q}{\pi \times r^4}\]

Sabendo que a pressão na veia do paciente é de 8 mmHg (ou aproximadamente 1060 Pa), a pressão na entrada da agulha será \(P_1 = P_2 + \Delta P\), onde \(P_2\) é a pressão na veia do paciente.

A viscosidade da água (e da solução salina) é aproximadamente \(1,0 \times 10^{-3}\) Pa·s. Convertendo as unidades de \(Q\), \(r\) e \(L\) para m³/s, m e m, respectivamente, temos \(Q = 0,120 \times 10^{-6}\) m³/s, \(r = 0,15 \times 10^{-3}\) m e \(L = 2,50 \times 10^{-2}\) m.

Substituindo esses valores na equação para \(\Delta P\), obtemos:

\[\Delta P = \frac{8 \times 1,0 \times 10^{-3} \, \text{Pa·s} \times 2,50 \times 10^{-2} \, \text{m} \times 0,120 \times 10^{-6} \, \text{m³/s}}{\pi \times (0,15 \times 10^{-3} \, \text{m})^4}\] \[\Delta P \approx 15090 \, \text{Pa}\]

Assim, a pressão necessária na entrada da agulha para manter o fluxo é \(P_1 = P_2 + \Delta P = 1060 \, \text{Pa} + 15090 \, \text{Pa} = 16150 \, \text{Pa}\).

Exercício 4

A água flui para um tubo horizontal a uma velocidade de 2 m/s e a pressão é de 300 kPa. Qual é a velocidade da água na extremidade com o diâmetro mais estreito, onde a pressão é de 200 kPa? (\(\rho_{agua} = 1000 kg/m^3\))

Solução

Para resolver este problema, podemos usar a equação de Bernoulli, que é uma expressão da conservação de energia para fluxos de fluidos. A equação de Bernoulli é a seguinte:

\[P_1 + 0,5 \times \rho \times v_1^2 = P_2 + 0,5 \times \rho \times v_2^2\]

onde \(P\) é a pressão, \(\rho\) é a densidade do fluido (da água neste caso, que é cerca de \(1000 \, \text{kg/m}³\)), e \(v\) é a velocidade do fluido.

Estamos a tentar encontrar a velocidade \(v_2\) na extremidade mais estreita do tubo, então reorganizamos a equação de Bernoulli para resolver \(v_2\):

\[v_2 = \sqrt{\frac{P_1 - P_2 + 0,5 \times \rho \times v_1^2}{0,5 \times \rho}}\]

Substituindo os valores conhecidos na equação, obtemos:

\[v_2 = \sqrt{\frac{(300 \, \text{kPa} - 200 \, \text{kPa} + 0,5 \times 1000 \, \text{kg/m³} \times (2 \, \text{m/s})^2)}{0,5 \times 1000 \, \text{kg/m³}}}\]

Convertendo as pressões de kPa para Pa (\(1 \, \text{kPa} = 1000 \, \text{Pa}\)), temos:

\[v_2 = \sqrt{\frac{(300000 \, \text{Pa} - 200000 \, \text{Pa} + 2000 \, \text{Pa})}{500 \, \text{kg/m³}}} = \sqrt{\frac{102000 \, \text{Pa}}{500 \, \text{kg/m³}}}\]

Ao calcular o valor acima, obtemos:

\[v_2 \approx 14,3 \, \text{m/s}\]

Portanto, a velocidade da água na extremidade mais estreita do tubo, onde a pressão é de \(200 \, \text{kPa}\), é de aproximadamente \(14,3 \, \text{m/s}\).

Exercício 5

Uma mangueira utilizada pelos bombeiros tem um diâmetro de 6,4 cm. Suponha que o fluxo da mangueira seja de 40 l/s com uma pressão de 1,62X10\(^6\) N/m\(^2\). O tubo está ligado a um tubo a uma altura de 10 metros com um diâmetro de 3 cm. Assumindo uma resistência nula, qual é a pressão da água à entrada do tubo, a uma altura de 10 metros?

Solução

Para resolver este problema, podemos usar a equação de Bernoulli, que é uma expressão da conservação de energia para os fluxos de fluidos. A equação de Bernoulli é a seguinte:

\[ P_1 + 0,5 \times \rho \times v_1^2 + \rho \times g \times h_1 = P_2 + 0,5 \times \rho \times v_2^2 + \rho \times g \times h_2 \]

onde \(P\) é a pressão, \(\rho\) é a densidade do fluido (água neste caso, aproximadamente \(1000 \, \text{kg/m}³\)), \(v\) é a velocidade do fluido, \(g\) é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente \(9,8 \, \text{m/s}^2\)), e \(h\) é a altura acima de um ponto de referência.

Neste caso, queremos encontrar a pressão \(P_2\) à entrada do tubo. Portanto, reorganizamos a equação de Bernoulli para resolver \(P_2\):

\[ P_2 = P_1 + 0,5 \times \rho \times v_1^2 + \rho \times g \times h_1 - 0,5 \times \rho \times v_2^2 - \rho \times g \times h_2 \]

A velocidade do fluido pode ser encontrada a partir do débito \(Q\), que é o volume de fluido que passa por um ponto por unidade de tempo. O débito é dado por \(Q = A \times v\), onde \(A\) é a área da secção transversal do tubo. Resolvendo para \(v\), temos \(v = Q/A\).

Para um tubo de diâmetro \(d\), a área é \(A = \pi \times (d/2)^2\).

Para o cano, temos:

\[ v_1 = \frac{Q_1}{A_1} = \frac{40 \, \text{l/s}}{\pi \times (6,40 \, \text{cm}/2)^2} = 12,44 \, \text{m/s} \]

(convertendo de l/s para m\(^3\)/s e de cm para m)

Para o tubo, temos:

\[ v_2 = \frac{Q_2}{A_2} = \frac{40 \, \text{l/s}}{\pi \times (3 \, \text{cm}/2)^2} = 56,6 \, \text{m/s} \]

(convertendo de l/s para m\(^3\)/s e de cm para m)

Substituindo todos os valores conhecidos na equação de Bernoulli, obtemos:

\[ P_2 = 1,62 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 + 0,5 \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (12,44 \, \text{m/s})^2 + 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \times 0 \, \text{m} \] \[- 0,5 \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (56,6 \, \text{m/s})^2 - 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \times 10 \, \text{m}\]

Ao calcular todos os termos, obtemos:

\[ P_2 = -2403,2 \, \text{N/m}^2 \]

Assim, a pressão da água à entrada do tubo é \(-2403,2 \, \text{N/m}^2\).

Exercício 6

O sistema representado na figura está em equilíbrio. As áreas dos pistões A e B são respectivamente iguais a 250 cm\(^2\) e 50 cm\(^2\) e a altura h é de 2 cm. Sabendo que a massa do bloco no pistão A é de 200 g e a massa específica do líquido na prensa é de 1 g/cm\(^3\), determine a intensidade da força F.

Solução

Para encontrar a intensidade da força \(F\), devemos usar o princípio de Pascal, que afirma que a pressão aplicada a um fluido incompressível em um sistema fechado é transmitida igualmente em todas as direções.

A pressão exercida pelo bloco no pistão \(A\) é dada pela fórmula: \(P = \frac{F}{A}\), onde \(F\) é a força aplicada (neste caso, a força devida ao peso do bloco) e \(A\) é a área da superfície sobre a qual a força é exercida.

A força devida ao peso do bloco é: \(F = m \times g\), onde \(m\) é a massa do bloco (200 g ou 0,2 kg) e \(g\) é a aceleração devida à gravidade (9,8 m/s²).

\[F = 0,2 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{m/s}² = 1,96 \, \text{N}\]

A área do pistão \(A\) é dada como sendo 250 cm², o que equivale a \(250 \times 10^{-4} \, \text{m}²\).

A pressão exercida pelo bloco no pistão \(A\) é, portanto:

\[P = \frac{F}{A} = \frac{1,96 \, \text{N}}{250 \times 10^{-4} \, \text{m}²} = 78,40 \, \text{Pa}\]

Esta pressão é também exercida no pistão \(B\). A força \(F\) necessária para manter o sistema em equilíbrio é então:

\[F = P \times A_B\]

onde \(A_B\) é a área do pistão \(B\) (50 cm² ou \(50 \times 10^{-4} \, \text{m}²\)).

\[F = 7840 \, \text{Pa} \times (50 \times 10^{-4} \, \text{m}²) = 0,392 \, \text{N}\]

No entanto, também devemos considerar a pressão adicional devida à coluna de líquido com altura \(h\) (2 cm ou 0,02 m). A pressão devida a esta coluna de líquido é dada por: \(P = \rho \times g \times h\), onde \(\rho\) é a densidade do líquido (1 g/cm³ ou 1000 kg/m³).

\[P = 1000 \, \text{kg/m}³ \times 9,8 \, \text{m/s}² \times 0,02 \, \text{m} = 196 \, \text{Pa}\]

A força devida a esta pressão adicional é: \(F = P \times A_B = 196 \, \text{Pa} \times (50 \times 10^{-4} \, \text{m}^2) = 0,98 \, \text{N}\)

A força total (\(F\)) necessária para manter o sistema em equilíbrio é então a soma destas duas forças: \(0,392 \, \text{N} + 0,98 \, \text{N} = 1,372 \, \text{N}\).

Assim, a intensidade da força \(F\) necessária para manter o sistema em equilíbrio é aproximadamente \(1,372 \, \text{N}\).