Uma barra de aço com um raio de 1 mm e um comprimento de 50 cm é submetida a uma tensão (tensão) de 500 N. Encontre o comprimento final da barra. Faça o mesmo para uma barra de alumínio de igual tamanho. (Y\(_{Aço}\)=20x10\(^{10}\) Pa e Y\(_{Alum}\)=7x10\(^{10}\) Pa)
Solução
Para resolver este problema, podemos utilizar a lei de Hooke, que estabelece a relação entre a força aplicada a um material, sua constante de elasticidade (módulo de Young) e a deformação resultante. A fórmula geral da lei de Hooke é dada por:
\[ F = A \times Y \times \varepsilon \]
onde \(F\) é a força aplicada, \(A\) é a área da secção transversal, \(Y\) é o módulo de Young do material e \(\varepsilon\) é a deformação (mudança de comprimento dividida pelo comprimento inicial).
A área da secção transversal \(A\) de uma haste de raio \(r\) é dada por \(A = \pi r^2\), e a deformação \(\varepsilon\) pode ser calculada usando a fórmula \(\varepsilon = \frac{F}{A \times Y}\).
Para o aço, os valores dados são \(Y_{\text{Aço}} = 20 \times 10^{10} \, \text{Pa}\), \(r = 1 \, \text{mm} = 0,001 \, \text{m}\), \(F = 500 \, \text{N}\) e \(L = 0,5 \, \text{m}\). Para o alumínio, \(Y_{\text{Alumínio}} = 7 \times 10^{10} \, \text{Pa}\), \(r = 0,001 \, \text{m}\) e \(F = 500 \, \text{N}\).
Para encontrar a deformação \(\varepsilon\) em cada caso, usamos a fórmula \(\varepsilon = \frac{F}{A \times Y}\) e, em seguida, podemos encontrar o comprimento final \(L_f\) usando a fórmula \(L_f = L + \varepsilon \times L\).
Para o aço: \[ A_{\text{Aço}} = \pi \times (0,001 \, \text{m})^2 = 3,1416 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \] \[ \varepsilon_{\text{Aço}} = \frac{500 \, \text{N}}{3,1416 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \times 20 \times 10^{10} \, \text{Pa}} \approx 7,96 \times 10^{-4} \] \[ L_{f_{\text{Aço}}} = 0,5 \, \text{m} + 7,96 \times 10^{-4} \times 0,5 \, \text{m} = 0,500398 \, \text{m} \]
Para o alumínio: \[ A_{\text{Alumínio}} = \pi \times (0,001 \, \text{m})^2 = 3,1416 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \] \[ \varepsilon_{\text{Alumínio}} = \frac{500 \, \text{N}}{3,1416 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \times 7 \times 10^{10} \, \text{Pa}} \approx 2,25 \times 10^{-4} \] \[ L_{f_{\text{Alumínio}}} = 0,5 \, \text{m} + 2,25 \times 10^{-4} \times 0,5 \, \text{m} = 0,5001125 \, \text{m} \]
O comprimento final da haste de aço é aproximadamente \(0,5004 \, \text{m}\) e a do alumínio é aproximadamente \(0,5001 \, \text{m}\).
Considere o fémur de um homem adulto. As suas dimensões são: comprimento = 50 cm, o raio = 1,5 cm e o raio da parte interna que contém a medula óssea = 0,4 cm. Considere que um dos fémures suporta um peso corporal de 700 N de uma pessoa enquanto esta se move (andar). Encontrar: (a) o stress compressivo aplicado a este fémur e (b) a quantidade de encurtamento do fémur causada por esta carga. (Y\(_{Femur}\)=0,94x10\(^{10}\) Pa)
Solução
Para calcular o stress compressivo aplicado ao fémur, podemos usar a seguinte fórmula:
\[ \text{Stress} = \frac{\text{Força}}{\text{Área da secção transversal}} \]
onde a força é igual ao peso corporal da pessoa que está a andar, ou seja, 700 N, e a área da secção transversal do fémur pode ser calculada subtraindo a área do orifício interno da área total da secção transversal do fémur.
\[ \text{Área da secção transversal} = \pi \times (\text{Raio externo}^2 - \text{Raio interno}^2) \]
Para o raio externo, temos \(r = 1,5 \, \text{cm} = 0,015 \, \text{m}\) e para o raio interno, \(r_{\text{interno}} = 0,4 \, \text{cm} = 0,004 \, \text{m}\).
Calculemos a área da secção transversal:
\[ \text{Área da secção transversal} = \pi \times (0,015^2 - 0,004^2) \approx 6,56 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \]
Agora, calculemos o stress compressivo:
\[ \text{Stress} = \frac{700 \, \text{N}}{6,56 \times 10^{-4} \, \text{m}^2} \approx 1,07 \times 10^6 \, \text{Pa} \]
O stress compressivo aplicado a este fémur é cerca de \(1,07 \times 10^6 \, \text{Pa}\).
Para calcular o encurtamento do fémur devido a esta carga, podemos usar a fórmula de deformação elástica:
\[ \text{Deformação} = \frac{\text{Stress}}{\text{Módulo de Young} \times \text{Comprimento}} \]
Onde o módulo de Young (\(Y_{\text{Fémur}}\)) é dado como \(0,94 \times 10^{10} \, \text{Pa}\) e o comprimento do fémur é \(50 \, \text{cm} = 0,5 \, \text{m}\).
Calculemos o encurtamento:
\[ \text{Deformação} = \frac{1,07 \times 10^6 \, \text{Pa}}{0,94 \times 10^{10} \, \text{Pa} } \approx 1,138 \times 10^{-4} \, \text{m} \]
\[\Delta L= L_0 \epsilon = 0,5 \times 1,138 \times 10^{-4} \approx 0,057 \, mm\]
O fémur encurta aproximadamente \(0,057 \times 10^{-5} \, \text{m}\) ou \(57 \, \mu \text{m}\) sob o efeito da carga de 700 N.
O osso que se quebra mais frequentemente quando comprimido é a tíbia imediatamente acima do tornozelo, onde a área de secção é de cerca de 3 cm \(^2\). Encontre a carga compressiva (força) que causa uma fractura da tíbia de uma das pernas. Assumimos que a tíbia tem as mesmas propriedades elásticas que o fémur. (\(\sigma_{tibia}=16,7x10^{7}\) Pa)
Solução
Para determinar a carga compressiva que causa uma fratura da tíbia, podemos usar a mesma fórmula como anteriormente:
\[ \text{Stress} = \frac{\text{Força}}{\text{Área da secção transversal}} \]
Temos a área da secção transversal (\(A\)) da tíbia, que é \(3 \, \text{cm}^2 = 3 \times 10^{-4} \, \text{m}^2\). O stress máximo (\(\sigma_{\text{tíbia}}\)) antes da fratura é dado como \(16.7 \times 10^7 \, \text{Pa}\). Queremos encontrar a força (\(\text{Força}\)).
A fórmula para o stress pode ser rearranjada para encontrar a força:
\[ \text{Força} = \text{Stress} \times \text{Área da secção transversal} \]
\[ \text{Força} = 16.7 \times 10^7 \, \text{Pa} \times 3 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \]
\[ \text{Força} = 5.01 \times 10^4 \, \text{N} \]
A carga compressiva que causa uma fratura da tíbia é de aproximadamente \(5.01 \times 10^4 \, \text{N}\).
Uma criança que corre, bate com a cabeça numa porta de vidro porque ele não percebeu que a porta estava fechada. No momento da colisão, a velocidade da criança era de 3 m/s. A sua cabeça pára na porta de vidro e sua velocidade final é zero. Considere que a massa da cabeça da criança é de 3,0 kg e a duração da colisão é de 0,01 s. Encontre a força média de desaceleração exercida pela porta de vidro na cabeça da criança.
Solução
Para encontrar a força média exercida pela porta de vidro na testa da criança, podemos usar a fórmula da segunda lei de Newton, que afirma que a força é igual ao produto da massa pela aceleração (\(F = m \times a\)).
Primeiro, precisamos calcular a aceleração sofrida pela criança durante a colisão. A aceleração pode ser calculada usando a fórmula:
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\]
onde \(\Delta v\) é a variação de velocidade (velocidade final menos velocidade inicial) e \(\Delta t\) é a duração da colisão. Neste caso, \(\Delta v = 0 \, \text{m/s} - 3 \, \text{m/s} = -3 \, \text{m/s}\) (a velocidade final é 0 porque a criança para) e \(\Delta t = 0.01 \, \text{s}\).
Calculemos a aceleração:
\[a = \frac{-3 \, \text{m/s}}{0.01 \, \text{s}} = -300 \, \text{m/s}^2\]
Agora, podemos calcular a força usando a fórmula \(F = m \times a\), onde \(m\) é a massa da cabeça da criança (3,0 kg) e \(a\) é a aceleração que calculamos:
\[F = 3,0 \, \text{kg} \times (-300 \, \text{m/s}^2) = -900 \, \text{N}\]
A força média exercida pela porta de vidro na testa da criança é de \(900 \, \text{N}\). O valor é negativo porque a força age na direção oposta à do movimento inicial da criança.
Uma mulher com uma massa de 60 kg salta com pernas rígidas (sem flexão dos joelhos) de uma altura de 1 m. Durante a colisão, uma desaceleração para um estado de repouso ocorre num intervalo de tempo de 0,005 s. Calcule: (a) a força média exercida em cada pé; (b) a distância percorrida pelo corpo durante a colisão. (v\(_{queda-livre}\)=\(\sqrt{2gh}\))
Solução
Para resolver este problema, vamos utilizar as leis da cinemática e os princípios da dinâmica.
Cálculo da velocidade inicial: A velocidade inicial da mulher pode ser calculada a partir da altura da mesa usando a fórmula da velocidade em queda livre: \[ v_{\text{queda livre}} = \sqrt{2gh} \] onde \(g\) é a aceleração devida à gravidade (\(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)) e \(h\) é a altura da mesa (1 m neste caso). \[ v_{\text{queda livre}} = \sqrt{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1 \, \text{m}} \] \[ v_{\text{queda livre}} \approx 4.43 \, \text{m/s} \]
Cálculo da aceleração: A aceleração pode ser calculada a partir da variação de velocidade e do tempo de colisão usando a fórmula: \[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \] onde \(\Delta v\) é a variação de velocidade (de \(v_{\text{queda livre}}\) para 0 m/s) e \(\Delta t\) é o tempo de colisão (0.005 s neste caso). \[ \Delta v = 0 \, \text{m/s} - 4.43 \, \text{m/s} = -4.43 \, \text{m/s} \] \[ a = \frac{-4.43 \, \text{m/s}}{0.005 \, \text{s}} \] \[ a = -886 \, \text{m/s}^2 \] (negativo porque a aceleração é oposta à direção do movimento inicial)
(a) Cálculo da força média em cada pé: A força média pode ser calculada usando a fórmula da segunda lei de Newton: \[ F = m \times a \] onde \(m\) é a massa da mulher (60 kg) e \(a\) é a aceleração calculada. \[ F = 60 \, \text{kg} \times 886 \, \text{m/s}^2 \] \[ F \approx 53160 \, \text{N} \] (a força é positiva porque age na direção oposta à aceleração) \[ F_{\text{pé}} = \frac{53160 \, \text{N}}{2} = 26580 \, \text{N} \]
(b) Cálculo da distância percorrida durante a colisão: A distância percorrida durante a colisão pode ser calculada usando a fórmula da cinemática: \[ d = v_i \times t + \frac{1}{2} a \times t^2 \] onde \(v_i\) é a velocidade inicial, \(t\) é o tempo de colisão e \(a\) é a aceleração.
\[ d = 4.43 \, \text{m/s} \times 0.005 \, \text{s} + \frac{1}{2} \times (-886 \, \text{m/s}^2) \times (0.005 \, \text{s})^2 \] \[ d \approx 0.011 \, \text{m} \]
A mulher percorre cerca de 0.011 m durante a colisão.
Encontre a altura máxima, que uma pessoa sem flectir o joelhos e com uma massa de 100kg, pode saltar sem quebrar o calcâneo. Suponha que, em tal condição, a distância de amortecimento percorrida durante a colisão é de 1,0 cm. Considere a força compressiva do calcâneo como a de uma vértebra. Calcule também a duração da colisão. Considere para esta pessoa que a superfície do calcâneo que toca o solo é de 5,5 cm \(^2\). (\(_{frac}\) = 0,19 \(\times 10^7\) Pa)
Solução
Para resolver este problema, vamos utilizar a fórmula para a força exercida no calcâneo durante a colisão:
Cálculo da força: \[ F = \sigma \times A = 0.19 \times 10^7 \times 5.5 \times 10^{-4} = 1045 \, \text{N} \]
Cálculo da aceleração: \[ a = \frac{F}{m} = \frac{1045 \, \text{N}}{100 \, \text{kg}} = 10.45 \, \text{m/s}^2 \]
Cálculo da duração da colisão: Usando a equação \(y = \frac{1}{2} a t^2\) com \(y = 0.01 \, \text{m}\) (1 cm) e \(a = 10.45 \, \text{m/s}^2\), encontramos: \[ t^2 = \frac{2y}{a} = \frac{2 \times 0.01 \, \text{m}}{10.45 \, \text{m/s}^2} \] \[ t^2 \approx 0.0019 \] \[ t \approx 0.044 \, \text{s} \]
Cálculo da velocidade inicial: \[ v = v_0 + at \] \[ 0 = v_0 - 10.45 \times 0.044 \] \[ v_0 \approx 0.46 \, \text{m/s} \]
Cálculo da distância percorrida durante a colisão:
A velocidade inicial da colisão é igual à velocidade final da queda, então podemos usar essa igualdade para encontrar o tempo de queda.
\[v = v_0 + at \Rightarrow 0.46 = 0 + 9.8t \Rightarrow t \approx 0.047 \, \text{s} \]
Usando a equação \(y = \frac{1}{2} a t^2\) com \(a = 10.45 \, \text{m/s}^2\) e \(t = 0.047 \, \text{s}\) (valor corrigido), \[ y = \frac{1}{2} \times 10.45 \times (0.047)^2 \] \[ y \approx 0.011 \, \text{m} \]
Os valores calculados parecem estar corretos agora. A pessoa pode cair de uma altura de aproximadamente 1 cm sem fraturar o calcâneo, amortecendo a queda numa distância de 1 cm durante uma colisão de aproximadamente 0.044 s.