Duas bolas com a mesma massa são lançadas a partir de uma altura de 1 m do chão. Uma bola é projetada horizontalmente com uma velocidade de 12 m/s. No outro caso, a bola é largada verticalmente sem que nenhuma velocidade seja transmitida para ela. Qual das bolas atingirá primeiro o chão?
Solução
Para resolver este problema, podemos usar as equações do movimento uniformemente acelerado para calcular o tempo que cada bola leva para atingir o solo e, em seguida, comparar os tempos.
Para a bola lançada horizontalmente, a velocidade vertical é zero, então podemos usar a equação:
\[h = \frac{1}{2}gt^2\]
Onde \(h\) é a altura inicial (1 m) e \(g\) é a aceleração devida à gravidade (-9,8 m/s²). Resolvendo para \(t\), temos:
\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 1 m}{9,8 m/s^2}} \approx 0,45 s\]
Para a bola solta verticalmente, podemos usar a mesma equação, mas desta vez a velocidade inicial é zero:
\[h = \frac{1}{2}gt^2\]
Resolvendo para \(t\), temos:
\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 1 m}{9,8 m/s^2}} \approx 0,45 s\]
Portanto, as duas bolas atingirão o solo ao mesmo tempo, após cerca de 0,45 segundos.
Solução
Para resolver este problema, podemos usar as equações do movimento uniformemente acelerado (MUA).
\[t = \frac{2v_{0x}}{g}\]
Onde \(v_{0_x}\) é a velocidade inicial na direção horizontal e \(g\) é a aceleração devida à gravidade.
A velocidade inicial na direção horizontal é dada por:
\[v_{0_x} = v_0 \cos \theta\]
Onde \(v_0\) é a velocidade inicial e \(\theta\) é o ângulo de lançamento.
Substituindo os valores, temos:
\[v_{0_x} = 25 m/s \cos 45° = 17,68 m/s\]
\[t = \frac{2 \times 17,68 m/s}{9,81 m/s^2} = 3,61 s\]
Assim, o tempo de voo é de 3,61 segundos.
\[h = \frac{v_{0_y}^2}{2g}\]
Onde \(v_{0_y}\) é a componente vertical da velocidade inicial.
A componente vertical da velocidade inicial é dada por:
\[v_{0_y} = v_0 \sin \theta\]
Substituindo os valores, temos:
\[v_{0_y} = 25 m/s \sin 45° = 17,68 m/s\]
\[h = \frac{(17,68 m/s)^2}{2 \times 9,81 m/s^2} \approx 16 m\]
Portanto, a bola atinge uma altura máxima de aproximadamente 16 metros.
Numa plataforma de mergulho de 10 m, um mergulhador faz um triplo salto mortal. Sabendo que sua velocidade de projeção é igual a 5 m/s e que o ângulo de projeção do corpo é igual a 60º, calcule:
Solução
\[ V_{y} = V_{0} \cdot \sin(\theta) \]
Onde \(V_{y}\) é a velocidade vertical, \(V_{0}\) é a velocidade do lançamento e \(\theta\) é o ângulo de lançamento. Substituindo os valores conhecidos:
\[ V_{y} = 5 \cdot \sin(60^\circ) \]
\[ V_{x} = V_{0} \cdot \cos(\theta) \]
Onde \(V_{x}\) é a velocidade horizontal, \(V_{0}\) é a velocidade do lançamento e \(\theta\) é o ângulo de lançamento. Substituindo os valores conhecidos:
\[ V_{x} = 5 \cdot \cos(60^\circ) \]
Para resolver esta questão, podemos dividi-la em duas partes: primeiro, calculamos o tempo que o mergulhador leva para atingir a altura máxima,
\[ v_{y_f}=v_{y_i}-at \Rightarrow t=\frac{v_{y_i}}{a}=\frac{5\cdot \sin(60^\circ)}{9,81}=0,44 s \]
e então calculamos o tempo que ele leva do ponto mais alto até entrar na piscina. Para isso, primeiro calculamos a altura máxima atingida pelo mergulhador e depois calculamos o tempo de descida:
\[ y_f=y_i + v_yt + \frac{1}{2}at^2 \Rightarrow y_f= 10 + 5\cdot \sin(60^\circ)\cdot 0,44-0,5\cdot9,81\cdot0,44^2 \approx 11m \]
Agora, ao calcular o tempo de descida,
\[ y_f=\frac{1}{2}\cdot at^2 \Rightarrow t=\sqrt{\frac{11}{9,81\cdot0,5}}\approx 1,5s \]
Somando os dois tempos,
\[ t=0,44+1,5=1,94s \]
Solução
Para resolver este problema, vamos usar as equações do movimento para um objeto lançado para cima com uma aceleração constante (a aceleração devido à gravidade). A aceleração devido à gravidade é geralmente denotada por g e é aproximadamente igual a 9.8 m/s².
\[v_0 = g*t = 9.8 m/s² * 3 s = 29.4 m/s.\]
\[h = 29.4 m/s * 3 s - 0.5 * 9.8 m/s² * (3 s)² = 88.2 m - 44.1 m = 44.1 m\]
Portanto, a velocidade inicial da bola é \(29.4 m/s\) e a altura máxima que ela atinge é \(44.1 m\).
Solução
Para resolver este problema, podemos usar as equações do movimento.
Para Pedro, a equação é \[d_{Pedro} = 0.5*a_{Pedro}*t_{Pedro}^2 = 0.5*3.5*t_{Pedro}^2\]
Para Joana, a equação é \[d_{Joana} = 0.5*a_{Joana}*(t_{Pedro}-1)^2 = 0.5*4.9*(t_{Pedro}-1)^2\]
porque ela começa 1 segundo depois. Igualando as duas equações, temos:
\[0.5*3.5*t_{Pedro}^2 = 0.5*4.9*(t_{Pedro}-1)^2\]
Resolvendo a equação acima para \(t_{Pedro}\), obtemos \(t_{Pedro} \approx 6.5\) segundos.
\[d_{Joana} = 0.5*4.9*(6.5-1)^2 \approx 74.1 m\].
Para Pedro, \[v_{Pedro} = 3.5*6.5 = 22.75 m/s\]
Para Joana, \[v_{Joana} = 4.9*(6.5-1) = 26.95 m/s\].