Exercicie 1

Un fil d’eau sort d’un robinet avec un débit de 0,1 L s\(^{-1}\). Le diamètre du robinet est égale à 2 cm. À 4 cm en-dessous du robinet, la vitesse d’écoulement est de 80 cm/s. Quelle est la vitesse de l’eau? Quel est le diamètre du fil d’eau 4 cm en-dessous du robinet?

Solution

Pour trouver la vitesse de l’eau, nous pouvons utiliser l’équation de continuité, qui établit que le débit volumique est constant dans un système d’écoulement incompressible.

Le débit volumique (\(Q\)) est donné par la formule : \[Q = A \times v\]

Où : \(Q\) est le débit volumique, \(A\) est l’aire de la section transversale, \(v\) est la vitesse de l’eau.

Nous avons un débit de \(0,1 \, \text{L/s}\), ce qui équivaut à \(0,1 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}\).

Pour trouver l’aire de la section transversale, nous pouvons utiliser la formule de l’aire d’un cercle : \[A = \pi \times r^2\]

Le diamètre du robinet est de \(2 \, \text{cm}\), donc le rayon (\(r\)) est de \(1 \, \text{cm}\) ou \(0,01 \, \text{m}\).

Calculons l’aire de la section transversale : \[A = \pi \times (0,01 \, \text{m})^2\]

Maintenant, nous pouvons trouver la vitesse de l’eau : \[v = \frac{Q}{A}\] \[v = \frac{0,1 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}}{\pi \times (0,01 \, \text{m})^2}\] \[v \approx 0,318 \, \text{m/s}\]

Donc, la vitesse de l’eau est d’environ \(3,18 \, \text{m/s}\).

Je m’excuse pour cette erreur. Prenons en compte la correction.

Pour trouver le diamètre du fil d’eau 4 cm en-dessous du robinet, nous pouvons utiliser la conservation du débit volumique.

Le débit volumique (Q) reste constant à tous les points d’un écoulement incompressible.

Nous avons un débit de 0,1 L/s, ce qui équivaut à \(0,1 \times 10^{-3}\, \text{m}^3/\text{s}\).

À 4 cm en-dessous du robinet, la vitesse d’écoulement est de 80 cm/s.

Pour trouver le diamètre du fil d’eau, nous pouvons utiliser la formule de l’aire d’un cercle : \(A = \pi \times r^2\).

Nous pouvons réarranger l’équation de débit volumique pour obtenir l’aire de la section transversale (\(A\)) en fonction de la vitesse de l’eau (\(v\)) :

\[A = \frac{Q}{v}\]

\[A = \frac{0,1 \times 10^{-3}\, \text{m}^3/\text{s}}{80\, \text{cm/s}}\]

\[A \approx 1,25 \times 10^{-4}\, \text{m}^2\]

Maintenant, nous pouvons trouver le diamètre du fil d’eau :

\[\text{Diamètre} = 2 \times \sqrt{\frac{A}{\pi}}\]

\[\text{Diamètre} \approx 2 \times \sqrt{\frac{1,25 \times 10^{-4}\, \text{m}^2}{\pi}}\]

\[\text{Diamètre} \approx 0,0126\, \text{m} \quad \text{ou} \quad 1,26\, \text{cm}\]

Donc, le diamètre du fil d’eau 4 cm en-dessous du robinet est d’environ 1,26 cm.

Exercicie 2

Il a été vérifié que dans l’écoulement d’un liquide de densité 800 Kg/m\(^3\) sa vitesse est de 4 m/s dans un point où la pression est de 2 N/cm\(^2\). Pour un point du tube situé dans une zone dont l’aire de section droite est le double de la précédent et l’hauteur est 20 cm au-dessus, détermine: la vitesse du débit; la pression.

Solution

Pour trouver la vitesse du débit dans la zone avec une aire de section deux fois plus grande, nous pouvons utiliser le principe de conservation du débit volumique.

Le débit volumique (\(Q\)) est constant dans un écoulement incompressible. Il est donné par la formule : \(Q = A \times v\), où \(A\) est l’aire de la section transversale et \(v\) est la vitesse du débit.

Supposons que l’aire de section de la première zone soit \(A_1\) et la vitesse du débit soit \(v_1\). Dans la deuxième zone, l’aire de section est le double de \(A_1\), soit \(2A_1\). Nous devons trouver la vitesse du débit dans cette zone, \(v_2\).

Puisque le débit volumique est constant, nous avons : \(Q_1 = Q_2\).

\(A_1 \times v_1 = 2A_1 \times v_2\)

\(v_1 = 2v_2\)

Donc, la vitesse du débit dans la deuxième zone est la moitié de la vitesse du débit dans la première zone.

Maintenant, pour trouver la pression dans la deuxième zone, nous pouvons utiliser le principe de Bernoulli, qui établit que la somme de la pression statique, de la pression dynamique et de la pression hydrostatique est constante le long d’un écoulement fluide sans frottement.

\[P_1 + 0,5 \times \rho \times v_1^2 + \rho \times g \times h_1 = P_2 + 0,5 \times \rho \times v_2^2 + \rho \times g \times h_2\]

Puisque la pression dans la première zone est donnée (\(2 \, \text{N/cm}^2\)), la vitesse dans la deuxième zone est la moitié de la vitesse dans la première zone, et l’hauteur dans la deuxième zone est de \(20 \, \text{cm}\) au-dessus de la première zone, nous pouvons simplifier l’équation comme suit :

\[2 \, \text{N/cm}^2 + 0,5 \times 800 \, \text{kg/m}^3 \times (4 \, \text{m/s})^2 + 800 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \times 0 \, \text{m} = \] \[= P_2 + 0,5 \times 800 \, \text{kg/m}^3 \times (2 \, \text{m/s})^2 + 800 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \times 0,2 \, \text{m} \Rightarrow\]

\[ \Rightarrow P_2 = 23232 \, \text{N/m}^2\]

Donc, la pression dans la deuxième zone est d’environ \(23232 \, \text{N/m}^2\).

Exercicie 3

Un système intraveineux fournit une solution saline à un patient à un débit de 0,120 cm\(^3\)/s à travers une aiguille de 0,15 mm de rayon et de 2,50 cm de longueur. Quelle est la pression nécessaire à l’entrée de l’aiguille pour maintenir ce débit, en supposant que la viscosité de la solution saline est la même que celle de l’eau (0,01 Poise) ? La pression sanguine dans la veine du patient est de 8 mmHg.

Solution

Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser la loi de Poiseuille, qui décrit l’écoulement d’un fluide visqueux à travers un tube long. La loi de Poiseuille est la suivante :

\[Q = \frac{\pi \times r^4 \times \Delta P}{8 \times \eta \times L}\]

Où \(Q\) est le débit, \(r\) est le rayon du tube, \(\Delta P\) est la différence de pression le long du tube, \(\eta\) est la viscosité du fluide et \(L\) est la longueur du tube.

Nous essayons de trouver la pression nécessaire à l’entrée de l’aiguille (\(P_1\)), donc réorganisons la loi de Poiseuille pour résoudre \(\Delta P\) :

\[\Delta P = \frac{8 \times \eta \times L \times Q}{\pi \times r^4}\]

Sachant que la pression dans la veine du patient est de 8 mmHg (ou environ 1060 Pa), la pression à l’entrée de l’aiguille sera \(P_1 = P_2 + \Delta P\), où \(P_2\) est la pression dans la veine du patient.

La viscosité de l’eau (et de la solution saline) est d’environ \(1.0 \times 10^{-3}\) Pa·s. En convertissant les unités de \(Q\), \(r\) et \(L\) en m³/s, m et m, respectivement, nous obtenons \(Q = 0.120 \times 10^{-6}\) m³/s, \(r = 0.15 \times 10^{-3}\) m et \(L = 2.50 \times 10^{-2}\) m.

En remplaçant ces valeurs dans l’équation pour \(\Delta P\), nous obtenons :

\[\Delta P = \frac{8 \times 1.0 \times 10^{-3} \, \text{Pa·s} \times 2.50 \times 10^{-2} \, \text{m} \times 0.120 \times 10^{-6} \, \text{m³/s}}{\pi \times (0.15 \times 10^{-3} \, \text{m})^4}\] \[\Delta P \approx 15090 \, \text{Pa}\]

Ainsi, la pression nécessaire à l’entrée de l’aiguille pour maintenir le débit est \(P_1 = P_2 + \Delta P = 1060 \, \text{Pa} + 15090 \, \text{Pa} = 16150 \, \text{Pa}\).

Exercicie 4

L’eau s’écoule dans un tuyau horizontal à une vitesse de 2 m/s et la pression est de 300 kPa. Quelle est la vitesse de l’eau à l’extrémité au diamètre le plus étroit, où la pression est de 200 kPa ? (\(\rho_{eau} = 1000 kg/m^3\))

Solution

Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser l’équation de Bernoulli, qui est une expression de la conservation de l’énergie pour les écoulements de fluides. L’équation de Bernoulli est :

\[P_1 + 0,5 \times \rho \times v_1^2 = P_2 + 0,5 \times \rho \times v_2^2\]

où \(P\) est la pression, \(\rho\) est la densité du fluide (de l’eau dans ce cas, qui est d’environ 1000 kg/m³), et \(v\) est la vitesse du fluide.

Nous essayons de trouver la vitesse \(v_2\) à l’extrémité la plus étroite du tube, alors réorganisons l’équation de Bernoulli pour résoudre pour \(v_2\) :

\[v_2 = \sqrt{\frac{P_1 - P_2 + 0,5 \times \rho \times v_1^2}{0,5 \times \rho}}\]

En remplaçant les valeurs connues dans l’équation, nous obtenons :

\[v_2 = \sqrt{\frac{(300 \, \text{kPa} - 200 \, \text{kPa} + 0,5 \times 1000 \, \text{kg/m³} \times (2 \, \text{m/s})^2)}{0,5 \times 1000 \, \text{kg/m³}}}\]

En convertissant les pressions de kPa en Pa (1 kPa = 1000 Pa), nous avons :

\[v_2 = \sqrt{\frac{(300000 \, \text{Pa} - 200000 \, \text{Pa} + 2000 \, \text{Pa})}{500 \, \text{kg/m³}}} = \sqrt{\frac{102000 \, \text{Pa}}{500 \, \text{kg/m³}}}\]

En calculant la valeur ci-dessus, nous obtenons :

\[v_2 \approx 14,3 \, \text{m/s}\]

Par conséquent, la vitesse de l’eau à l’extrémité la plus étroite du tube, où la pression est de 200 kPa, est d’environ 14,3 m/s.

Exercicie 5

Un tuyau utilisé par les pompiers a un diamètre de 6,4 cm. Supposons que le débit du tuyau soit de 40 l/s avec une pression de 1,62X10\(^6\) N/m\(^2\). Le tuyau est connecté à un tube à une hauteur de 10 mètres avec un diamètre de 3 cm. En supposant une résistance nulle, quelle est la pression de l’eau à l’entrée du tube, à une hauteur de 10 mètres ?

Solution

Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser l’équation de Bernoulli, qui est une expression de la conservation de l’énergie pour les écoulements de fluides. L’équation de Bernoulli est :

\[ P_1 + 0.5 \times \rho \times v_1^2 + \rho \times g \times h_1 = P_2 + 0.5 \times \rho \times v_2^2 + \rho \times g \times h_2 \]

où \(P\) est la pression, \(\rho\) est la densité du fluide (eau dans ce cas, environ \(1000 \, \text{kg/m}^3\)), \(v\) est la vitesse du fluide, \(g\) est l’accélération due à la gravité (environ \(9.8 \, \text{m/s}^2\)), et \(h\) est la hauteur au-dessus d’un point de référence.

Dans ce cas, nous voulons trouver la pression \(P_2\) à l’entrée du tube. Ainsi, nous réorganisons l’équation de Bernoulli pour résoudre \(P_2\) :

\[ P_2 = P_1 + 0.5 \times \rho \times v_1^2 + \rho \times g \times h_1 - 0.5 \times \rho \times v_2^2 - \rho \times g \times h_2 \]

La vitesse du fluide peut être trouvée à partir du débit \(Q\), qui est le volume de fluide passant par un point par unité de temps. Le débit est donné par \(Q = A \times v\), où \(A\) est la surface de la section transversale du tube. Résolvons pour \(v\), nous avons \(v = Q/A\).

Pour un tuyau de diamètre \(d\), la surface est \(A = \pi \times (d/2)^2\).

Pour le tuyau, nous avons :

\[ v_1 = \frac{Q_1}{A_1} = \frac{40 \, \text{l/s}}{\pi \times (6.40 \, \text{cm}/2)^2} = 12,44 \, \text{m/s} \]

(en convertissant de l/s à m\(^3\)/s et de cm à m)

Pour le tube, nous avons :

\[ v_2 = \frac{Q_2}{A_2} = \frac{40 \, \text{l/s}}{\pi \times (3 \, \text{cm}/2)^2} = 56,6 \, \text{m/s} \]

(en convertissant de l/s à m\(^3\)/s et de cm à m)

En remplaçant toutes les valeurs connues dans l’équation de Bernoulli, nous obtenons :

\[ P_2 = 1,62 \times 10^6 \, \text{N/m}^2 + 0,5 \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (12,44 \, \text{m/s})^2 + 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \times 0 \, \text{m} \] \[- 0,5 \times 1000 \, \text{kg/m}^3 \times (56,6 \, \text{m/s})^2 - 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \times 10 \, \text{m}\]

En calculant tous les termes, nous obtenons :

\[ P_2 = -2403.2 \, \text{N/m}^2 \]

Par conséquent, la pression de l’eau à l’entrée du tube est \(-2403.2 \, \text{N/m}^2\).

Exercicie 6

Le système représenté sur la figure est en équilibre. Les zones des pistons A et B sont respectivement égales à 250 cm\(^2\) et 50 cm\(~^2\) et la hauteur h est de 2 cm. Sachant que la masse du bloc sur le piston A est de 200 g et que la masse spécifique du liquide dans la presse est de 1 g/cm\(^3\), déterminez l’intensité de la force F.

Solution

Pour trouver l’intensité de la force \(F\), nous devons utiliser le principe de Pascal, qui stipule que la pression appliquée à un fluide incompressible dans un système fermé est transmise équitablement dans toutes les directions.

La pression exercée par le bloc sur le piston \(A\) est donnée par la formule : \(P = \frac{F}{A}\), où \(F\) est la force exercée (dans ce cas, la force due au poids du bloc) et \(A\) est l’aire de la surface sur laquelle la force est exercée.

La force due au poids du bloc est : \(F = m \times g\), où \(m\) est la masse du bloc (200 g ou 0,2 kg) et \(g\) est l’accélération due à la gravité (9,8 m/s²).

\[F = 0,2 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{m/s}² = 1,96 \, \text{N}\]

L’aire du piston \(A\) est donnée comme étant de 250 cm², ce qui équivaut à \(250 \times 10^{-4} \, \text{m}²\).

La pression exercée par le bloc sur le piston \(A\) est donc :

\[P = \frac{F}{A} = \frac{1,96 \, \text{N}}{250 \times 10^{-4} \, \text{m}²} = 78,40 \, \text{Pa}\]

Cette pression est également exercée sur le piston \(B\). La force \(F\) nécessaire pour maintenir le système en équilibre est donc :

\[F = P \times A_B\]

où \(A_B\) est l’aire du piston \(B\) (50 cm² ou \(50 \times 10^{-4} \, \text{m}²\)).

\[F = 7840 \, \text{Pa} \times (50 \times 10^{-4} \, \text{m}²) = 0,392 \, \text{N}\]

Cependant, nous devons également prendre en compte la pression supplémentaire due à la colonne de liquide de hauteur \(h\) (2 cm ou 0,02 m). La pression due à cette colonne de liquide est donnée par : \(P = \rho \times g \times h\), où \(\rho\) est la densité du liquide (1 g/cm³ ou 1000 kg/m³).

\[P = 1000 \, \text{kg/m}³ \times 9,8 \, \text{m/s}² \times 0,02 \, \text{m} = 196 \, \text{Pa}\]

La force due à cette pression supplémentaire est : \(F = P \times A_B = 196 \, \text{Pa} \times (50 \times 10^{-4} \, \text{m}^2) = 0,98 \, \text{N}\)

La force totale (F) pour maintenir le système en équilibre est donc la somme de ces deux forces : \(0,392 \, \text{N} + 0,98 \, \text{N} = 1,372 \, \text{N}\).

Donc, l’intensité de la force \(F\) nécessaire pour maintenir le système en équilibre est d’environ \(1,372 \, \text{N}\).