library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## The legacy packages maptools, rgdal, and rgeos, underpinning the sp package,
## which was just loaded, will retire in October 2023.
## Please refer to R-spatial evolution reports for details, especially
## https://r-spatial.org/r/2023/05/15/evolution4.html.
## It may be desirable to make the sf package available;
## package maintainers should consider adding sf to Suggests:.
## The sp package is now running under evolution status 2
##      (status 2 uses the sf package in place of rgdal)
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
library("r2symbols")
## 
## Attaching package: 'r2symbols'
## The following object is masked from 'package:dplyr':
## 
##     sym
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     sym
symbol()
## NULL
symbol("U+2261")

1.1 Kuantitas vs Angka

Besaran matematika adalah suatu jumlah. Cara kita mengukur jumlah bergantung pada jenis benda yang kita ukur. Hal-hal di dunia nyata mungkin berupa massa, waktu, atau panjang. Hal ini juga bisa berupa kecepatan atau volume atau momentum atau hasil jagung tahunan per hektar. Kita hidup di dunia yang penuh dengan hal-hal seperti itu, yang sebagian bersifat nyata (misalnya jagung, massa, gaya) dan sebagian lagi lebih sulit untuk dipahami (akselerasi, hasil panen, penghematan bahan bakar). Kegunaan penting kalkulus adalah membantu kita mengkonseptualisasikan benda-benda abstrak sebagai komposisi matematis dari benda-benda yang lebih sederhana. Misalnya, hasil panen menggabungkan massa dengan panjang dan waktu.

Kebanyakan orang cenderung menganggap “kuantitas” sama dengan “angka”. Hal ini dapat dimengerti tetapi salah arah. Angka saja tidak ada artinya. Apa arti angka 5 tanpa konteks lebih lanjut? Kuantitas, di sisi lain, menggabungkan angka dengan konteks yang sesuai untuk mendeskripsikan sejumlah barang.

Hal pertama yang perlu Anda ketahui tentang kuantitas apa pun adalah jenis barang yang dideskripsikannya. Satu “mil” adalah sejenis benda: panjang. Satu meter sama saja: panjang. Satu liter adalah sesuatu yang berbeda: volume. Satu galon dan satu acre-foot adalah dua hal yang sama: volume. Namun satu inci (panjang) tidak sama dengan satu jam (waktu).

“Barang”, seperti yang kami maksudkan di sini, adalah apa yang kami ukur. Seperti yang Anda ketahui, kami mengukur dengan satuan. Satuan yang sesuai bergantung pada jenis barangnya. Meter, mil, dan mikron merupakan satuan panjang yang sesuai, meskipun panjang sebenarnya dari satuan tersebut sangat berbeda. (Satu mil kira-kira sama dengan 1,6 juta milimeter.)

Hanya setelah Anda mengetahui satuannya barulah bilangan memiliki arti sebagai besaran: bilangan hanyalah bagian dari penentuan besaran.

Berikut perbedaan mencolok antara bilangan dan besaran dalam kalkulus: Semua jenis operasi aritmatika dan matematika lainnya berlaku untuk bilangan: penjumlahan, perkalian, akar kuadrat, dll. Namun untuk besaran, hanya perkalian dan pembagian yang diperbolehkan secara universal. Untuk penjumlahan dan pengurangan, akar kuadrat, dan sejenisnya, operasi ini hanya masuk akal jika dimensinya sesuai.

Matematika tentang satuan dan dimensi bagi dunia teknis adalah hal yang masuk akal dalam dunia kita sehari-hari. Misalnya (dan ini mungkin tidak masuk akal pada saat ini), jika orang mengatakan kepada saya bahwa mereka mengambil akar kuadrat dari 10 liter, saya langsung tahu bahwa mereka hanya salah atau mereka belum memberi tahu saya elemen-elemen penting dari situasi tersebut. . Ini seperti jika seseorang berkata, “Saya berenang melintasi lapangan tenis.” Anda tahu orang tersebut menggunakan kata kerja yang salah—berjalan atau berlari bisa digunakan—atau bahwa itu bukan lapangan tenis, atau ada sesuatu yang penting yang tidak disebutkan, mungkin, “Saat banjir, saya berenang melintasi lapangan tenis.”

1.2 Fungsi

Fungsi , dalam pengertian matematika dan komputasi, adalah inti dari kalkulus. Pengantar Blok Pendahuluan ini dimulai dengan, “Kalkulus adalah tentang perubahan, dan perubahan adalah tentang hubungan.” Gagasan tentang fungsi matematika memberikan perspektif yang pasti mengenai hal ini. Hubungan yang diwakili oleh suatu fungsi adalah antara fungsi input dan fungsi output. Inputnya mungkin berupa hari dalam setahun dan outputnya adalah curah hujan kumulatif hingga hari itu. Setiap hari hujan, maka curah hujan kumulatifnya meningkat.

Fungsi adalah konsep matematika untuk mengambil satu atau lebih input dan mengembalikan output. Dalam kalkulus, kita terutama akan membahas fungsi-fungsi yang mengambil satu atau lebih besaran sebagai input dan mengembalikan besaran lain sebagai output.

Namun terkadang kita akan mengambil fungsi sebagai inputnya dan mengembalikan kuantitas sebagai outputnya. Dan bahkan akan ada fungsi yang mengambil suatu fungsi sebagai input dan mengembalikan suatu fungsi sebagai outputnya.

Dalam definisi seperti f(χ) ≡ √χ, pikirkan χ sebagai nama input. Sejauh menyangkut definisi, χ hanyalah sebuah nama. Kita bisa saja menggunakan nama lain; hanya konvensi yang menuntun kita untuk memilih χ. Definisi tersebut juga bisa saja demikian f(y) ≡ √y atau f(zebra)≡ √zebra.

Notasi seperti f(χ) juga digunakan untuk sesuatu yang sama sekali berbeda dari definisi. Secara khusus, f(χ) bisa berarti menerapkan fungsi f() ke kuanttas bernama χ.

Salah satu tanda umum penerapan suatu fungsi adalah ketika isi tanda kurung bukanlah nama simbolik melainkan angka. Misalnya saja saat kita menulis sin kami memberikan nilai numerik ke fungsi sinus. Fungsi sinus kemudian melakukan penghitungannya dan mengembalikan nilai 0,8504366. Dengan kata lain, sin benar-benar setara dengan 0,8504366.

Sebaliknya, menggunakan nama sendiri di dalam tanda kurung menunjukkan bahwa nilai spesifik untuk input ditentukan di tempat lain. Misalnya, ketika mendefinisikan suatu fungsi, kita sering kali menggabungkan dua fungsi atau lebih, seperti ini:

g(χ) ≡ exp (χ) sin (χ)

atau

h(y,z) ≡ ln (z) (sin(z)-cos(y)).

Itu y dan z di sisi kiri definisi adalah nama input h(). Sisi kanan menjelaskan cara menyusun keluaran, yang dilakukan dengan menerapkan ln(), sin(), dan cos() ke input. Menggunakan nama di sisi kanan memberi tahu kita fungsi mana yang diterapkan pada input mana. Kita tidak akan mengetahui nilai spesifik apa yang akan dimiliki input tersebut hingga fungsinya h() sedang diterapkan pada input, seperti dengan h(y=1.7, z=3.2).

1.3 Ruang

Telah kami katakan sebelumnya bahwa fungsi yang digunakan dalam kalkulus mengambil besaran sebagai input dan menghasilkan besaran sebagai output. Kita juga telah mengatakan bahwa kuantitasnya adalah seperti “2 tahun cahaya” atau “150 watt”. Sekarang kami ingin menghubungkan konsep baru ke input dan output: konsep ruang.

Ruang adalah kumpulan kemungkinan yang berkelanjutan. Seorang anak yang belajar tentang angka dimulai dengan “menghitung angka”: 1, 2, 3, …. Di sekolah dasar, himpunan bilangan diperluas hingga mencakup bilangan nol dan bilangan negatif: -1, -2, -3, …,menghasilkan himpunan yang disebut “bilangan bulat”. Menghitung bilangan dan bilangan bulat merupakan himpunan diskrit . Di antara dua anggota bilangan hitung yang berurutan atau bilangan bulat, tidak ada bilangan lain dari himpunan tersebut.

Langkah selanjutnya dalam pendidikan matematika anak adalah “bilangan rasional”, yaitu bilangan yang ditulis sebagai perbandingan: 1/2, 1/3, 2/3,…, 22/7 dan seterusnya. Bilangan rasional ditempatkan pada spasi di antara bilangan bulat. Artinya, di antara dua bilangan bulat apa pun, bahkan bilangan bulat yang berurutan, terdapat bilangan rasional. Misalnya bilangan rasional 1/2 jatuh antara 0 dan 1.

Di antara dua bilangan rasional ada bilangan rasional lainnya, memang ada bilangan rasional yang jumlahnya tak terhingga. Misalnya saja antara 1/2 Dan 2/3 adalah 6/11 (dan banyak lainnya, seperti 7/11 atau 13/21). Penting untuk menganggap bilangan rasional cocok dengan spasi di antara bilangan bulat.

Jika Anda tidak menemukan kata “spasi” pada kalimat sebelumnya, Anda sudah bisa memahami apa yang dimaksud dengan “kontinu”. Misalnya, di antara dua bilangan rasional terdapat bilangan rasional lainnya. Bayangkan bilangan rasional sebagai batu loncatan yang menyediakan jalur dari bilangan mana pun ke bilangan lainnya.

Diskrit
Merupakan pertanyaan mendalam apakah bilangan rasional merupakan sebuah jalan setapak dan bukan batu loncatan yang terisolasi? Jalan setapak adalah suatu struktur di mana Anda dapat memindahkan berapapun jumlahnya, tidak peduli seberapa kecilnya, tanpa risiko keluar dari struktur tersebut. Sebaliknya, gerakan yang terlalu kecil di sepanjang jalur batu loncatan akan membuat Anda terperosok ke dalam air.

Kontinu
Himpunan yang berkesinambungan seperti jalan setapak; betapapun sedikitnya Anda berpindah dari suatu elemen himpunan, Anda akan tetap berada di himpunan tersebut. Himpunan bilangan yang berkesinambungan sering disebut garis bilangan, meskipun nama yang lebih formal adalah bilangan real. (“Nyata” adalah pilihan kata yang tidak tepat, namun kita terjebak di dalamnya.)

Metafora yang mendasarinya di sini adalah ruang. Di antara dua titik dalam ruang, terdapat titik lain dalam ruang. Kami akan bekerja dengan beberapa ruang berbeda, misalnya:

Keistimewaan kalkulus adalah menggambarkan hubungan antar himpunan kontinu. Fungsi seperti sin() atau line(), yang merupakan fungsi khas yang kita pelajari dalam kalkulus, ambil angka sebagai input.

Setiap fungsi memiliki serangkaian input yang sah. Untuk fungsi-fungsi yang dipelajari dalam kalkulus, himpunan ini kontinu: sebuah spasi. Nama yang diberikan pada ruang fungsi yang berisi input sah adalah domain fungsi. Fungsi seperti sin() dan banyak lainnya yang memiliki seluruh himpunan bilangan real sebagai domain fungsinya. Fungsi akar kuadrat memiliki bilangan non-negatif untuk domainnya. Fungsi logaritma, ln(), memiliki domain bilangan positif.

Sama seperti “domain” yang merupakan himpunan input sah ke suatu fungsi, rentang fungsi adalah himpunan nilai yang dapat dihasilkan oleh fungsi tersebut sebagai output. Misalnya saja kisaran sin() adalah angka di antaranya -1 ⋜ χ ⋜ 1.