Exercices Hydrostatique

Exercicie 1

Les perfusions intraveineuses sont généralement conduites par la gravité en accrochant la bouteille du liquide la hauteur suffisante pour neutraliser la tension dans la veine et pour forcer le liquide dans le corps. Plus haut la bouteille est, plus haut le débit du liquide sera. $\rho_{fluide} = 1020 \,kg/m^3$ a) Si on observe que le liquide et les tensions s’équilibrent quand la bouteille est 1,2 m au-dessus du niveau de bras, détermine la pression du sang. b) Si la pression du fluide au niveau de bras doit être 20 kPa, déterminez à quelle hauteur la bouteille doit être placée.

Solution

Pour déterminer la pression du sang, nous pouvons utiliser la formule de la pression hydrostatique :

\[ \text{Pression} = \rho \times g \times h \]

Où : \[\begin{align*} \rho & \text{ est la densité du fluide (dans ce cas, } 1020 \, \text{kg/m}^3\text{)} \\ g & \text{ est l'accélération due à la gravité (environ } 9,8 \, \text{m/s}^2\text{)} \\ h & \text{ est la hauteur de la bouteille au-dessus du niveau du bras (} 1,2 \, \text{m}\text{)} \end{align*}\]

En substituant les valeurs dans la formule, nous obtenons :

\[ \text{Pression} = 1020 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \times 1,2 \, \text{m} \]

Calculons cela :

\[ \text{Pression} = 11904 \, \text{Pa} \]

Donc, la pression du sang est d’environ $11904 \, \text{Pa}$.

Pour déterminer la hauteur à laquelle la bouteille doit être placée pour obtenir une pression du fluide de $20 \, \text{kPa}$, nous pouvons réarranger la formule de pression hydrostatique :

\[ h = \frac{\text{Pression}}{\rho \times g} \]

En substituant les valeurs dans la formule, nous obtenons :

\[ h = \frac{20000 \, \text{Pa}}{1020 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2} \]

Calculons cela :

\[ h \approx 2,08 \, \text{m} \]

Donc, la bouteille doit être placée à une hauteur d’environ $2,08 \, \text{m}$ au-dessus du niveau du bras pour obtenir une pression du fluide de $20 \, \text{kPa}$.

Exercicie 2

Les poumons humains sont capables de résister à une différence de pression d’environ un dixième de l’atmosphère. Supposons qu’une personne veuille respirer sous l’eau à l’aide d’un tuyau qui atteint la surface. Jusqu’où sous la surface une personne peut-elle aller ?

Solution

La pression maximale que les poumons peuvent supporter est de $0,1 \, \text{atm}$, ce qui correspond à environ $10.130 \, \text{Pa}$. Utilisons cette pression pour déterminer la profondeur maximale qu’une personne peut atteindre.

En utilisant la loi de Pascal, nous pouvons écrire l’équation suivante :

\[ \text{Pression} = \text{densité de l'eau} \times \text{gravité} \times \text{hauteur} \]

En réarrangeant l’équation pour trouver la hauteur :

\[ \text{Hauteur} = \frac{\text{Pression}}{\text{densité de l'eau} \times \text{gravité}} \]

En substituant les valeurs connues :

\[ \text{Hauteur} = \frac{10.130 \, \text{Pa}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2} \]

Calculons cela :

\[ \text{Hauteur} \approx 1,03 \, \text{mètres} \]

Ainsi, une personne peut descendre jusqu’à environ $1,03 \, \text{mètres}$ sous la surface de l’eau en utilisant un tube atteignant la surface, avant que la pression ne dépasse la limite que les poumons peuvent supporter.

Exercicie 3

Une voiture plonge dans le lac pendant un accident et a atterri dans le fond du lac sur ses roues. La porte est 1,2 m (hp) de haut et 1 m (L) de largeur et le bord supérieur de la porte est 8 m (h1) au-dessous de la surface de l’eau. Déterminez les forces hydrostatiques sur la porte. Discutez si le conducteur peut ouvrir la porte. $\rho_{eau} = 1000\, kg/m^3$

Solution

Pour déterminer les forces hydrostatiques sur la porte, nous pouvons utiliser la formule de la pression hydrostatique :

\[ \text{Force} = \text{Pression} \times \text{Aire} \]

Où : \[\begin{align*} \text{Pression} & \text{ est la pression hydrostatique due à la profondeur de la porte} \\ \text{Aire} & \text{ est l'aire de la porte} \end{align*}\]

La pression hydrostatique peut être calculée en utilisant la formule :

\[ \text{Pression} = \rho \times g \times h \]

Où : \[\begin{align*} \rho & \text{ est la densité de l'eau (}1000 \, \text{kg/m}^3\text{)} \\ g & \text{ est l'accélération due à la gravité (environ }9,8 \, \text{m/s}^2\text{)} \\ h & \text{ est la profondeur de la porte (}8 \, \text{m}\text{)} \end{align*}\]

L’aire de la porte peut être calculée en utilisant la formule :

\[ \text{Aire} = \text{hauteur} \times \text{largeur} \]

En substituant les valeurs dans les formules, nous obtenons :

\[ \text{Pression} = 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \times (8 \, \text{m} + \frac{1,2\, \text{m}}{2}) \]

Calculons cela :

\[ \text{Pression} \approx 84 400 \, \text{Pa} \]

\[ \text{Aire} = 1,2 \, \text{m} \times 1 \, \text{m} \]

Calculons cela :

\[ \text{Aire} = 1,2 \, \text{m}^2 \]

Maintenant, nous pouvons calculer la force hydrostatique :

\[ \text{Force} = 84 400 \, \text{Pa} \times 1,2 \, \text{m}^2 \]

Calculons cela :

\[ \text{Force} \approx 101 300 \, \text{N} \]

La force hydrostatique exercée sur la porte est d’environ $101 300 \, \text{N}$.

Quant à savoir si le conducteur peut ouvrir la porte, cela dépend de la différence entre la force hydrostatique et la force nécessaire pour ouvrir la porte. Si la force nécessaire pour ouvrir la porte est inférieure à la force hydrostatique, alors le conducteur pourrait ouvrir la porte. Sinon, la porte restera probablement fermée en raison de la force exercée par l’eau.

Exercicie 4

La tension maximale dans le bras d’une personne saine est environ 120 mmHg. Si le tube vertical, ouvert à l’atmosphère, est connecté à la veine dans le bras de la personne, déterminer à quelle hauteur le sang montera dans le tube. $\rho_{sang} = 1040$ kg/m$^3$ et $\rho_{mercure}$ = 13600 kg/m$^3$

Solution

Pour déterminer à quelle hauteur le sang montera dans le tube, nous pouvons utiliser la pression hydrostatique et égaler la pression exercée par la colonne de sang à la pression atmosphérique.

La pression hydrostatique dans le tube est donnée par la formule :

\[ \text{Pression} = \rho \times g \times h \]

Où : \[\begin{align*} \rho & \text{ est la densité du fluide (dans ce cas, la densité du sang, qui est } 1040 \, \text{kg/m}^3\text{)} \\ g & \text{ est l'accélération due à la gravité (environ } 9,8 \, \text{m/s}^2\text{)} \\ h & \text{ est la hauteur de la colonne de sang dans le tube} \end{align*}\]

La pression atmosphérique est généralement mesurée en millimètres de mercure (mmHg). Pour convertir la pression atmosphérique en pascals (Pa), nous utilisons la relation : $1 \, \text{mmHg} = 133,322 \, \text{Pa}$.

La tension maximale dans le bras d’une personne saine est de $120 \, \text{mmHg}$. En convertissant cela en pascals, nous avons :

\[ \text{Pression atmosphérique} = 120 \, \text{mmHg} \times 133,322 \, \text{Pa/mmHg} \]

Calculons cela :

\[ \text{Pression atmosphérique} \approx 15 998,6 \, \text{Pa} \]

Maintenant, nous pouvons égaler la pression hydrostatique à la pression atmosphérique pour trouver la hauteur de la colonne de sang :

\[ \rho \times g \times h = \text{Pression atmosphérique} \]

En isolant $h$, nous avons :

\[ h = \frac{\text{Pression atmosphérique}}{\rho \times g} \]

Substituons les valeurs connues :

\[ h = \frac{15 998,6 \, \text{Pa}}{1040 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2} \]

Calculons cela :

\[ h \approx 1,57 \, \text{m} \]

Donc, le sang montera dans le tube jusqu’à une hauteur d’environ $1,57 \, \text{m}$.

Exercicie 5

Le baromètre peut être utilisé pour mesurer la hauteur du bâtiment. Si la pression atmosphérique au sommet du bâtiment est de 730 mmHg et au fond du bâtiment est de 755 mmHg, détermine la hauteur de la construction(du bâtiment). $ _ {mercure} = $13600 kg/m$^3$ et $ _ {air} = $1,18 kg/m$^3$

Solution

Pour déterminer la hauteur du bâtiment en utilisant un baromètre, nous pouvons utiliser la différence de pression atmosphérique mesurée entre le sommet et le bas du bâtiment.

La différence de pression entre le sommet et le bas du bâtiment est donnée par la formule :

\[ \Delta P = \rho \times g \times \Delta h \]

Où : \[\begin{align*} \Delta P & \text{ est la différence de pression (en pascals)} \\ \rho & \text{ est la densité du fluide (dans ce cas, la densité du mercure, qui est } 13600 \, \text{kg/m}^3\text{)} \\ g & \text{ est l'accélération due à la gravité (environ } 9,8 \, \text{m/s}^2\text{)} \\ \Delta h & \text{ est la différence de hauteur entre le sommet et le bas du bâtiment} \end{align*}\]

Nous devons convertir les pressions atmosphériques données en pascals. En utilisant la relation : $1 \, \text{mmHg} = 133,322 \, \text{Pa}$, nous avons :

\[ \text{Pression au sommet} = 730 \, \text{mmHg} \times 133,322 \, \text{Pa/mmHg} \]

\[ \text{Pression au bas} = 755 \, \text{mmHg} \times 133,322 \, \text{Pa/mmHg} \]

Calculons cela :

\[ \text{Pression au sommet} \approx 97 993,86 \, \text{Pa} \] \[ \text{Pression au bas} \approx 100 640,61 \, \text{Pa} \]

Maintenant, nous pouvons calculer la différence de pression :

\[ \Delta P = \text{Pression au bas} - \text{Pression au sommet} \]

Calculons cela :

\[ \Delta P \approx 2 646,75 \, \text{Pa} \]

En utilisant la formule de la différence de pression, nous pouvons isoler $\Delta h$ :

\[ \Delta h = \frac{\Delta P}{\rho_{air} \times g} \]

Substituons les valeurs connues :

\[ \Delta h = \frac{2 646,75 \, \text{Pa}}{1,18 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2} \]

Calculons cela :

\[ \Delta h \approx 228,65 \, \text{m} \]

Donc, la différence de hauteur entre le sommet et le bas du bâtiment est d’environ $0,019 \, \text{m}$. Cela signifie que la hauteur du bâtiment est de $228,65 \, \text{m}$.

Exercicie 6

Une grue est utiliser pour baisser des poids dans la mer (la densité = 1025 kg/m3) pour un projet de construction sous-marin. Déterminez la tension dans la corde de la grue en raison d’un bloc de béton rectangulaire lorsqu’il est a) en suspension dans l’air b) complètement immergé dans de l’eau. V$_{bloc}=0,48 m^3$; $\rho_{eau} = 1025 kg/m^3$ ; $\rho_{beton}=2300 kg/m^3$

Solution

Lorsque le bloc de béton est en suspension dans l’air, la tension dans la corde de la grue est égale au poids du bloc de béton.

Le poids du bloc de béton peut être calculé en utilisant la formule :

\[ \text{Poids} = \text{masse} \times \text{gravité} \]

La masse du bloc de béton peut être calculée en utilisant la formule :

\[ \text{Masse} = \text{volume} \times \text{densité} \]

Dans ce cas, le volume du bloc de béton est donné comme $V = 0,48 \, \text{m}^3$ et la densité du béton est donnée comme $\rho = 2300 \, \text{kg/m}^3$.

Calculons la masse du bloc de béton :

\[ \text{Masse} = 0,48 \, \text{m}^3 \times 2300 \, \text{kg/m}^3 \]

Calculons cela :

\[ \text{Masse} = 1104 \, \text{kg} \]

Maintenant, nous pouvons calculer la tension dans la corde de la grue :

\[ \text{Tension} = \text{Poids} = \text{Masse} \times \text{gravité} \]

En utilisant une valeur approximative de l’accélération due à la gravité $g \approx 9,8 \, \text{m/s}^2$, nous avons :

\[ \text{Tension} \approx 1104 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \]

Calculons cela :

\[ \text{Tension} \approx 10 843,2 \, \text{N} \]

Donc, la tension dans la corde de la grue lorsque le bloc de béton est en suspension dans l’air est d’environ $10 843,2 \, \text{N}$.

Lorsque le bloc de béton est complètement immergé dans l’eau, la tension dans la corde de la grue est égale à la différence entre le poids du bloc de béton dans l’air et la force de flottabilité exercée par l’eau.

La force de flottabilité exercée par l’eau sur le bloc de béton peut être calculée en utilisant la formule :

\[ \text{Force de flottabilité} = \text{volume immergé} \times \text{densité de l'eau} \times \text{gravité} \]

Le volume immergé du bloc de béton est égal à son volume total, car il est complètement immergé. Donc, le volume immergé est également $V = 0,48 \, \text{m}^3$.

Calculons la force de flottabilité :

\[ \text{Force de flottabilité} = 0,48 \, \text{m}^3 \times 1025 \, \text{kg/m}^3 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 \]

Calculons cela :

\[ \text{Force de flottabilité} \approx 4 815,6 \, \text{N} \]

Maintenant, nous pouvons calculer la tension dans la corde de la grue :

\[ \text{Tension} = \text{Poids} - \text{Force de flottabilité} \]

Le poids du bloc de béton est le même que dans la partie a), donc il est égal à $1104 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{m/s}^2$.

Calculons cela :

\[ \text{Tension} \approx (1104 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{m/s}^2) - 4 815,6 \, \text{N} \]

Calculons cela :

\[ \text{Tension} \approx 6027,6 \, \text{N} \]

Donc, la tension dans la corde de la grue lorsque le bloc de béton est complètement immergé dans l’eau est d’environ $6027,6 \, \text{N}$.