Pregunta 1

Marcela tiene en su refrigerador tomates, apio, espinaca, pepino y palta. Quiere hacer una ensalada de dos ingredientes distintos cada día. ¿Cuántas ensaladas de dos ingredientes distintos puede hacer?

Solución:

Este es un problema de combinaciones. Claramente, por sentido común, no importa el orden de los ingredientes en el plato, y por el enunciado, el mismo ingrediente no se puede repetir en una misma enslada. Hay 5 ingredientes en total y se eligen 2 para hacer cada ensalada. La cantidad total de combinaciones de 2 de 5 está dada por: \[C(5,2) = {5 \choose 2} = \frac{5!}{(5-2)!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]

Respuesta: 10

Pregunta 2

Tiras un dado. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número impar o primo?

Solución:

El espacio muestral S es el conjunto de todas las caras posibles del dado: \[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\] Es un supuesto razonable que el dado es simétrico y por ende la probabilidad de cada una de sus caras es la misma, esto es: 1/6. Entonces podemos usar la probabilidad frecuentista:

\[P(A) = \frac{|A|}{|S|}\ \forall A \subseteq S\]

donde \(|A|\) significa la cardinalidad de A, esto es, la cantidad de elementos que contiene.

Sean:
A = Evento de sacar un número impar = {1, 3, 5}
B = Evento de sacar un número primo = {2, 3, 5}

Evento A o B es la unión: \(A \cup B\)

Por lo tanto, podemos usar la fórmula de la probabilidad de la unión: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B\] Claramente, \(A \cap B = \{3,5\}\) \[\therefore P(A \cup B) = \frac{|A|}{|S|} + \frac{|B|}{|S|} - \frac{|A \cap B|}{|S|}\] \[\therefore P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6}\] \[\therefore P(A \cup B) = \frac{2}{3}\]

Respuesta: \(\frac{2}{3} = 0,6667\)

Pregunta 3

Para un estudio, entrevistas a 100 personas al azar de la Región Metropolitana. De antemano tienes las siguientes estadísticas:

Población Región Metropolitana: 6.000.000
- Mujeres: 3.200.000
- Hombres: 2.800.000
Población Comuna Quilicura: 300.000
- Mujeres: 155.000
- Hombres: 145.000

¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar una persona de la Región Metropolitana, sea mujer o viva en la comuna de Quilicura?

Solución:

El evento “ser mujer o vivir en Quilicura” es la unión de los eventos “ser mujer” y “vivir en Quilicura”. Por lo tanto, podemos usar la ecuación de probabilidad de la unión: \[P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)\] Sean:
A = Evento “encuestado(a) es mujer”
B = Evento “encuestado(a) vive en Quilicura”

Como estamos entrevistando a las personas al azar, por simetría la probabilidad de entrevistar a cada persona es la misma para todos. Entonces podemos aplicar la fórmula frecuentista para calcular las probabilidades: \[P(A) = \frac{Cantidad\ de\ mujeres\ en\ la\ Región\ Metropolitana}{Población\ Región\ Metropolitana} = \frac{3.200.000}{6.000.000} = 0,5333\] \[P(B) = \frac{Población\ de\ Quilicura}{Población\ Región\ Metropolitana} = \frac{300.000}{6.000.000} = 0,05\] \[P(A∩B) = \frac{Cantidad\ de\ mujeres\ en\ Quilicura}{Población\ Región\ Metropolitana} = \frac{155.000}{6.000.000} = 0,02583\] \[∴P(A∪B) = 0,5333+0,05-0,02583\] \[∴P(A∪B)=0,5575\]

Respuesta: 0,5575

Pregunta 4

En el escenario de la Pregunta (3), ¿cuál es la probabilidad de que un(a) encuestado(a) sea mujer y viva en Quilicura?

Solución:

Por lo explicado en la pregunta (3), podemos aplicar la fórmula frecuentista de probabilidades: \[Probabilidad\ de\ ser\ mujer\ y\ vivir\ en\ Quilicura = \frac{Cantidad\ de\ mujeres\ en\ Quilicura}{Población\ total\ Región\ Metropolitana} = \frac{155.000}{6.000.000} = 0,02583\]

Respuesta: 0,02583

Pregunta 5

En el escenario de la Pregunta (3), ¿cuál es la probabilidad de que un encuestado viva en Quilicura dado que es hombre?

Solución 1:

Una solución es aplicar la probabilidad condicional: \[P(A│B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)}\] Sean:
A = Evento de que un(a) encuestado(a) viva en Quilicura
B = Evento de que un(a) encuestado(a) sea hombre

Aplicando la fórmula de probabilidad frecuentista: \[P(A∩B) = \frac{Cantidad\ de\ hombres\ en\ Quilicura}{Población\ Región\ Metropolitana} = \frac{145.000} {6.000.000} = 0,02417\] \[P(B) = \frac{Cantidad\ de\ hombres\ en\ la\ Región\ Metropolitana}{Población\ Región\ Metropolitana} = \frac{2.800.000}{6.000.000} = 0,4667\] \[∴P(A│B) = \frac{0,02417}{0,4667}\] \[∴P(A│B) = 0,05179\]

Respuesta: 0,05179

Solución 2:

La solución 2, equivalente, es redefinir el espacio muestral, de acuerdo a la condición dada. El nuevo espacio muestral es la población de hombres de la Región Metropolitana. Ahora tenemos: A = Evento de que un encuestado (hombre) viva en Quilicura
S = Espacio muestral = Población de hombres de la Región Metropolitana

\[∴P(A) = \frac{|A|}{|S|}\] \[∴ P(A) = \frac{Población\ de\ hombres\ en\ Quilicura}{Población\ de\ hombres\ en\ la\ Región Metropolitana}\] \[∴P(A) = \frac{145.000}{2.800.000}\] \[∴P(A) = 0,05179\]

Respuesta: 0,05179

Obviamente, con ambos métodos se obtiene el mismo resultado.

Pregunta 6

Un analista financiero necesita evaluar las rentabilidades de 7 empresas y ordenarlas según rentabilidad. Si elige un orden al azar, ¿cuál es la probabilidad de que obtendrá el correcto?

Solución:

Es un supuesto razonable que todos los ordenamientos son igualmente probables; por lo tanto podemos usar la fórmula de la probabilidad frecuentista:

\[P(A) = \frac{|A|}{|S|}\] donde A es el evento de obtener el ordenamiento correcto, y S es el espacio muestral: el conjunto de todos los ordenamientos posibles.

|A| = 1 porque hay solamente un ordenamiento correcto. Por otro lado, la cantidad total de ordenamientos posibles es la cantidad total de ordenamientos posibles de las 7 empresas: \[|S| = 7! = 5040\] \[∴P(A) = \frac{1}{5040} = 0,0001984\]

Respuesta: 0,0001984

Pregunta 7

Necesitas realizar un estudio para saber cuantas personas mienten al postular a un trabajo. Para ello tomas una muestra representativa de voluntario(a)s. Como ésta es una pregunta muy sensible, y lo más probable es que las personas no la responden honestamente, diseñas la siguiente encuesta:

Luego le dices a cada encuestado(a) que tire una moneda (sin que la veas), y que responda la pregunta (a) si sale “cara” y la pregunta (b) si sale “sello”. Así cada encuestado(a) sabe que se garantiza su anonimato y contestará honestamente con confianza.

El resultado total de la encuesta es que el 37% de los encuestados respondieron “SI”.

  1. ¿Qué porcentaje de los encuestados respondieron SI a la pregunta de interés (b)?
  2. Asumiendo que la muestra es representativa de toda la población, ¿qué porcentaje de la población estimas ha mentido al postular a un trabajo?

Solución 1:

Sean A y B los eventos de que el encuestado respondió la pregunta A o B respectivamente, y S y N los eventos que consisten en sus respuestas “Sí” o “No”.

Queremos saber la probabilidad de que un encuestado responda “sí” en la pregunta (b), esto es \(P(S|B)\): \[P(S|B) = \frac{P(S \cap B)}{P(B)}...(1)\] Sabemos que \(P(B) = 0,5\) porque depende del tiro de una moneda. Resta por calcular \(P(S \cap B)\). Como A y B son disjuntos: \[P(S) = P(S \cap A) + P(S \cap B)\] Pero está dado en el encunciado que \(P(S) = 0,37\): \[\therefore 0,37 = P(S \cap A) + P(S \cap B)...(2)\] Además, aplicamos la fórmula de la probabilidad condicional para \(P(S|A)\): \[P(S|A) = \frac{P(S \cap A)}{P(A)}\] Sabemos que \(P(S|A) = 0,5\) porque la mitad de los Rut terminan con un número impar. Además \(P(A) = 0,5\) porque depende del tiro de una moneda. Por consiguiente: \[P(S \cap A) = P(S|A) \cdot P(A) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25\] Al sutituir en la ecuación (2) obtenemos: \[P(S \cap B) = 0,37 - P(S \cap A) = 0,37 - 0,25 = 0,12\] Esta es la respuesta a la parte (i): el 12% de los encuestados respondió “sí” a la pregunta (b).

Para responder la parte (ii), tenemos que restringirnos al universo (espacio muestral) de personas que contestan la pregunta (b) solamente. Esto es la probabilidad de responder “sí” dado que la pregunta es (b), o sea \(P(S|B)\).

Sustituir \(P(S \cap B)\) y \(P(B) = 0,5\) en la ecuación (1):

\[P(S|B) = \frac{0,12}{0,5}\] \[\therefore P(S|B) = 0,24\] Bajo el supuesto que la muestra es representativa de la población, se estima que un 24% de la población ha mentido al postular a un trabajo.

Respuesta: 0,24

El 24% de los encuestados respondieron que sí han mentido al postular a un trabajo.

Solución 2:

La solución también se puede visualizar fácilmente construyendo la probabilidad conjunta y marginal del espacio muestral de todas las posibilidades de combinaciones (más precisamente tuplas) de preguntas y respuestas. Llenamos la matriz con las probabilidades que conocemos, y el resto se calculan del segundo axioma: las probabilidades de un espacio muestral suman 1.

En la matriz, se ve que: \[P(S \cap B) = 0,12\] \[P(B) = 0,5\] La respuesta a la parte (i) es \(P(S \cap B) = 0,12\), esto es, el 12% de los encuestados respondió “sí” a la pregunta (b).

La respuesta a la parte (ii), es la probabilidad de responder “sí” dado que la pregunta es (b), o sea \(P(S|B)\).

\[\therefore P(S|B) = \frac{P(S \cap B)}{P(B)} = \frac{0,12}{0,5} = 0,24\]

Respuesta: 0,24

Pregunta 8

En una reunión de 25 amigos, ¿cuál es la probabilidad que al menos dos personas tengan el mismo cumpleaños?

Solución:

Cada persona tiene la misma probabilidad de tener como cumpleaños cualquiera de los 365 días del año, esto es, 1/365.

Para 25 personas distintas, el espacio muestral, S, de todas las posibilidades es el conjunto de 25-tuplas en que cada elemento puede tener un valor de 1 a 365: \[|S| = 365^{25}\] Las 25-tuplas con al menos dos cumpleaños iguales son aquellas con al menos una repetición. Sea A este conjunto.

Sería muy tedioso tratar de enumerar este conjunto. Más fácil es calcular la probabilidad del evento complemento, \(A^C\), esto es, que las 25 personas tengan todas cumpleaños distintos. Luego podemos calcular la probabilidad de A del axioma 2: \[P(A) = 1 - P(A^C)\] \(A^C\) es el conjunto de 25-tuplas en que todos los elementos son distintos. Su cardinalidad es la cantidad de permutaciones posibles eligiendo 25 de 365: \[|A^C| = P(365,25) = \frac{365!}{(365-25)!25!}\] Entonces: \[P(A) = 1 - \frac{|A^C|}{|S|}\]

\[\therefore P(A) = 1 - \frac{365!}{(365-25)!25! \cdot 365^{25}}\] \[\therefore P(A)=0,5687\] A muchos puede sorprender este resultado. En una reunión de más de 23 personas, es bastante probable que al menos dos tengan el mismo cumpleaños.

Respuesta: 0,5687

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