PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS Y PARA EL COCIENTE DE DESVIACIONES

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# PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS Y PARA EL COCIENTE DE DESVIACIONES
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## Universidad Tecnológica de Bolívar
]
.author[
### Sharyck Sofía Rodríguez Puello
]
.date[
### 2023-10-22
]

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## PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS

Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de dos poblaciones normales independientes. Supongamos que `$σ_1^2$` y `$σ_2^2$` son las varianzas poblacionales desconocidas y `$s_1^2$`, `$s_2^2$` sean las varianzas de la muestra. Supongamos que los tamaños de las muestras son `$n_1$` y `$n_2$`. Como nos interesa comparar las dos varianzas de la muestra, utilizamos el cociente F:

`$$F = \frac{ \left[ \frac{s_1^2}{σ_1^2} \right] } { \left[ \frac{s_2^2}{σ_2^2} \right] }$$`
F tiene la distribución F ~ F( `$n_1-1$`, `$n_2–1$`)

donde `$n_1-1$` son los grados de libertad del numerador y `$n_2–1$` son los grados de libertad del denominador.

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Si la hipótesis nula es  `$σ_1^2 = σ_2^2$`, entonces el cociente F, el estadístico de prueba, se convierte en

`$$F_c = \frac{ \left[ \frac{s_1^2}{σ_1^2} \right] } { \left[ \frac{s_2^2}{σ_2^2} \right] } = \frac{ s_1^2 } { s_2^2 }$$`
 La forma representar el cociente de varianzas o desviaciones es para prueba de hipótesis es:
 
 `$$H_0: \frac{ σ_1^2 } { σ_2^2 } = 1 \quad \text{vs} \quad H_1: \frac{ σ_1^2 } { σ_2^2 } ≠ 1$$`
 
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## EJERCICIO 1.

Se realiza un estudio para comparar dos tratamientos que se aplicarán a frijoles crudos con el objetivo de reducir el tiempo de cocción. El tratamiento T1 es a base de bicarbonato de sodio, el T2 es a base de cloruro de sodio o sal común. La variable respuesta es el tiempo de cocción en minutos. Los datos se muestran abajo. ¿Son las varianzas de los tiempos iguales o diferentes? Usar  α = 0.05.

T1  |  T2  
 -----|------
  76  |  57  
  85  |  67
  74  |  55
  78  |  64
  82  |  61
  75  |  63
  82  |  63
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## SOLUCIÓN MANUAL PARA EL EJERCICIO 1.

### Verificación de Supuestos.

$$n_1 =  7 \quad ; \quad s_1^2 =  17.47619 $$
 `$$n_2 =  7 \quad ; \quad s_2^2 =  17.28571$$`
 `$$\alpha =  0.05  \quad \xrightarrow{} \quad 1 - \alpha = 0.95 \quad ; \quad \frac{\alpha}{2} = 0.025$$`
 $$v_1 =n_1 - 1 = 6 \quad ; \quad  v_2 = n_2 - 1 = 6 $$

### Datos. 
Sean `$σ_1^2$` y `$σ_2^2$` las varianzas de calidad de los productos. Entonces contrastamos las hipótesis:  
 
 `$$H_0: \frac{ σ_1^2 } { σ_2^2 } = 1 \quad \text{vs} \quad H_1: \frac{ σ_1^2 } { σ_2^2 } ≠ 1$$`
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### Fórmula y Calculos.
  
  Teniendo en cuenta que debemos solucionar el ejercicio aplicando el método de p - valor, encontramos el valores para F calculado empleando la ecuación propuesta anteriormente:
  
  `$$F_c = \frac{ s_1^2 } { s_2^2 } \quad \xrightarrow{} \quad F_c = \frac{ 17.47619 } { 17.28571 } = 1.011019 = 1.01$$`

### Aplicación del Método de decisión.

- P Valor. El valor P que corresponde a `$F_c = 1.01$`, es:
  
  `$$p-valor = 2 * P(F > 1.01)  \quad \xrightarrow{} \quad p-valor = 2 * 0.505 = 1.01$$`
  
  Conclusión: Siendo que el valor de P-valor = 1.01 es mayor al valor de α = 0.05, no tenemos evidencia estadística suficiente para que con un nivel de significación del 5% rechacemos la hipótesis del cientifico de que las dos máquinas tienen la misma varianza en términos de calidad de los productos.

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## SOLUCIÓN USANDO LA FUNCIÓN var.test.

```r
  # Datos de las muestras
  t1 <- c(76, 85, 74, 78, 82, 75, 82)
  t2 <- c(57, 67, 55, 64, 61, 63, 63)
  
  # Realizar la prueba de varianza
  resultado <- var.test(t1, t2, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)
  print(resultado)
```

```
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  t1 and t2
## F = 1.011, num df = 6, denom df = 6, p-value = 0.9897
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.1737219 5.8838861
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           1.011019
```

```r
  p_valor <- resultado$p.value
```

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### Conclusión.

Teniendo en cuenta que con un nivel de significación del 5%, el valor de P-valor resulto ser 0.9897262 y siendo que este valor es mayor al valor de α = 0.05,podemos decir que tenemos evidencia estadística suficiente para afirmar que la varianza de los tiempos es igual.