A<- matrix(data = c(8, 9, 8, 12, 23, 19, 14, 12, 22),
nrow = 3, ncol =3);
A [,1] [,2] [,3]
[1,] 8 12 14
[2,] 9 23 12
[3,] 8 19 22Punto10_TallerR_PartB
Punto II. Taller R-Parte A
Hallar \(A^T\), \(A^{-1}\), Adj(A), \(B^T\), \(B^{-1}\), Adj(B), \(C^{-1}\), \(C^T\) y Adj(C), verificar los \(\bullet\)
Solución matrix A:
\(A^T\)
transpuesta<-t(A)
transpuesta [,1] [,2] [,3]
[1,] 8 9 8
[2,] 12 23 19
[3,] 14 12 22Mediante la funcion \(t(*)\) se calcula la matriz transpuesta de \((*)\).
\(A^{-1}\)
A_Inversa<-solve(A)
A_Inversa [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.33985330 0.002444988 -0.21760391
[2,] -0.12469438 0.078239609 0.03667482
[3,] -0.01589242 -0.068459658 0.09290954I<-A_Inversa%*%A
round(I) [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1Se le asigna al objeto “A_Inversa” el resultado al aplicarle la funcion \(solve()\) a la matriz A, donde dicha función halla la matriz inversa de A.
Luego le asignamos a \("I"\), el prodcuto matricial de A_Inversa y A mediante el operador %*%. Observando que nos da la matriz identidad llamandola usando la funcion \(round()\), para aproximar al entero mas cercano los valores de la matriz \(I\).
Adj(A)
A_Inversa*det(A)-> r;
Adj_A<-r;
Adj_A [,1] [,2] [,3]
[1,] 278 2 -178
[2,] -102 64 30
[3,] -13 -56 76Le asignamos al objeto “r”, el producto de un escalar con una matriz, mediante el operador *. Luego renombramos a “r” como “Adj_A” de manera que se llama a Adj_A. Y así se obtiene la matriz adjunta de A.
Solución matrix B:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 9 8 9
[2,] 6 -2 7
[3,] 7 -2 8\(B^T\)
transpuesta<-t(B)
transpuesta [,1] [,2] [,3]
[1,] 9 6 7
[2,] 8 -2 -2
[3,] 9 7 8Mediante la funcion \(t(*)\) se calcula la matriz transpuesta de \((*)\).
\(B^{-1}\)
B_Inversa<-solve(B)
B_Inversa [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.250 -10.250 9.250
[2,] 0.125 1.125 -1.125
[3,] 0.250 9.250 -8.250Se le asigna al objeto “B_Inversa” el resultado al aplicarle la funcion \(solve()\) a la matriz B, donde dicha función halla la matriz inversa de B.
Adj(B)
B_Inversa*det(B)-> r;
Adj_B<-r;
Adj_B [,1] [,2] [,3]
[1,] -2 -82 74
[2,] 1 9 -9
[3,] 2 74 -66Le asignamos al objeto “r”, el producto de un escalar con una matriz, mediante el operador *. Luego renombramos a “r” como “Adj_B” de manera que se llama a Adj_B. Y así se obtiene la matriz adjunta de B.
Solución matrix C:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 5 6 -7
[2,] 2 8 12
[3,] 3 -8 21\(C^{-1}\)
C_Inversa<-solve(C)
C_Inversa [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.168797954 -0.04475703 0.08184143
[2,] -0.003836317 0.08056266 -0.04731458
[3,] -0.025575448 0.03708440 0.01790281Se le asigna al objeto “C_Inversa” el resultado al aplicarle la funcion \(solve()\) a la matriz C, donde dicha función halla la matriz inversa de C.
\(C^T\)
transpuesta<-t(C)
transpuesta [,1] [,2] [,3]
[1,] 5 2 3
[2,] 6 8 -8
[3,] -7 12 21Mediante la funcion \(t(*)\) se calcula la matriz transpuesta de \((*)\).
Adj(C)
C_Inversa*det(C)-> r;
Adj_C<-r;
Adj_C [,1] [,2] [,3]
[1,] 264 -70 128
[2,] -6 126 -74
[3,] -40 58 28Le asignamos al objeto “r”, el producto de un escalar con una matriz, mediante el operador *. Luego renombramos a “r” como “Adj_C” de manera que se llama a Adj_C. Y así se obtiene la matriz adjunta de C.
\(\bullet\) \(Det(AB) = Det(A)Det(B)\)
AB<-A%*%B
det(AB)[1] 6544det(A)*det(B)[1] 6544Le asignamos a la matriz AB la operación matricial de A por B mediante (%*%). Con la función det(*) se halla el determinante de la matriz *. Hallando los determinantes de A y B mediante la función det(A) y det(B), se procede a indicar la multiplicación de estos dos escalares y se observa en la salida que se cumple la igualdad.
\(\bullet\) \(Det(A) = Det(A^T)\)
det(A)[1] 818det(t(A))[1] 818Con la función det(*) se halla el determinante de la matriz *. Sin embargo, la matriz t(A) hace referencia a la matriz transpuesta. t(*) halla la matriz transpuesta de *.
\(\bullet\) \(Det(BC) = Det(B)Det(C)\)
B%*%C-> BC
det(BC)[1] 12512det(B)*det(C)[1] 12512Se le asigna el producto matricial entre B y C, mediante la operación %*%, a la matriz BC. Luego con la funcion det(*), calculamos el determinante de *. Así, se procede a calcular el producto de escalares (det(B) y det(C)) mediante *. Verificando la igualdad.
\(\bullet\) \(Det(B) = Det(B^T)\)
det(B)[1] 8det(t(B))[1] 8Se halla el determinante de B mediante la función det(). Se halla el determinante de la transpuesta de B mediante la función det(). Tal que la matriz transpuesta es t(B). Observando en las salidas que se cumple la igualdad.
\(\bullet\) \(Adj(A)*A = |A|I\)
Adj_A%*%A -> D
(D_p<-round(D, digits = 0)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 818 0 0
[2,] 0 818 0
[3,] 0 0 818I<-diag(3)
(E<-abs(A)%*%I) [,1] [,2] [,3]
[1,] 8 12 14
[2,] 9 23 12
[3,] 8 19 22Le asignamos a la matriz D el resultado del producto matricial entre la matriz adjunta de A y la matriz A, mediante la operacion %*%. Se usa la función \(round(x,y)\) tal que el parámetro \(x\) hace referencia a la matriz a la cual se le aproximarán los decimales a la cantidad indicada en el parámetro \(y\), en este caso se aproxima a dos cifras decimales. Se le asigna a I (la matriz identidad) el resultado generada por la función daig(m), cuyo parametro m hace referencia a la cantidad de unos en su diagonal. En este caso son 3, por las dimensiones de D. Se calcula el valor absoluto de la matriz A. Se le asigna a la matriz E la operación matricial mediante el operador %*%. Se observa que \(Adj(A)\%*\%A=D\) es diferente a la matriz \(E=|A|\%*\%I\). Por tanto, no se cumple la igualdad, dada.
\(\bullet\) \(Adj(C)*C = |C|I\)
Adj_C%*%C->Z
Z_p<-round(Z, digits = 0)
Z_p [,1] [,2] [,3]
[1,] 1564 0 0
[2,] 0 1564 0
[3,] 0 0 1564A_c<-abs(C)
(N<-A_c%*%I) [,1] [,2] [,3]
[1,] 5 6 7
[2,] 2 8 12
[3,] 3 8 21Le asignamos a la matriz Z el resultado del producto matricial entre la matriz adjunta de C y la matriz C, mediante la operacion %*%. Se usa la función \(round(x,y)\) tal que el parámetro \(x\) hace referencia a la matriz a la cual se le aproximarán los decimales a la cantidad indicada en el parámetro \(y\), en este caso se aproxima a cero cifras decimales. Se calcula el valor absoluto de la matriz C. Se le asigna a N el producto de la matriz A_c y la matriz identidad de tamaño 3x3. Se observa que \(Adj(C)\%*\%C=Z\) es diferente a la matriz \(=|C|\%*\%I\). Por tanto, no se cumple la igualdad, dada.
Punto IV. Taller R-Parte A
Calcular con cada una de las matrices, determinante, traspuesta, inversa, hallar los cofactores de cada matriz. Para el item (f), presentar la solución en letras y luego asignarles un valor.
Solución matriz a:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 8 4 12
[2,] 3 -2 9
[3,] -3 -9 1Mediante la funcion matrix, le asignamos a la matriz “a”, los valores del parametro “data” correspondiente al vector \(c(8,3,-3,4,-2,-9,12,9,1)\), y le especificamos las dimensiones.
Determinante
(Determinante<-det(a))[1] 116Le asignamos al objeto “Determinante” el calculo del determinante de la matriz “a” mediante la función det(*).
Transpuesta
(Transpuesta<-t(a)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 8 3 -3
[2,] 4 -2 -9
[3,] 12 9 1Mediante la funcion t(*), se calcula la matriz transpuesta de “a”. De manera que le asignamos el objeto “Transpuesta” la matriz calculada con la funcion t(a).
Inversa
(Inversa_a<-solve(a)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.6810345 -0.9655172 0.5172414
[2,] -0.2586207 0.3793103 -0.3103448
[3,] -0.2844828 0.5172414 -0.2413793Usando la función solve(a), calculamos la matriz inversa de “a” asignandole la matriz resultante al objeto “Inversa”.
Matriz_Cofactores
(Inversa_a*det(a)-> r); [,1] [,2] [,3]
[1,] 79 -112 60
[2,] -30 44 -36
[3,] -33 60 -28(Adj_a <- r) [,1] [,2] [,3]
[1,] 79 -112 60
[2,] -30 44 -36
[3,] -33 60 -28Le asignamos a “r” la operación de la inversa de “a” por el determinante de la misma. Renombramos a “r” y llamamos a Adj_a, que corresponde a la matriz de cofactores.
NOTA:
Atendiendo que el ejercicio maneja 10 matrices y no todas son de las mismas dimensiones, se opta por aclarar que los pasos para tener como resutlado cada una de las cuatro matrices solicitadas, son iguales en forma, pero con los datos de cada una de las 10 matriz muestra la diferencia. De manera que las funciones usadas para hallar las 4 matrices soliciatdas en el ejercicio de cada una de las matrices \((a,b, ... , j)\) son las mismas. De este modo la argumentación será omitida, entendiendose que puede ser interpretada como la explicación sobre la matriz \(a\) pero con los datos de cualquiera de las 10 matrices manejadas.
FIN DE NOTA
Solución matriz b:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 3 10
[2,] 5 8 7
[3,] 19 4 1Mediante la funcion matrix, le asignamos a la matriz “a”, los valores del parametro “data” correspondiente al vector \(c(2,5,19,3,8,4,10,7,1)\), y le especificamos las dimensiones.
Determinante
(Determinante<-det(b))[1] -976Le asignamos al objeto “Determinante” el calculo del determinante de la matriz “b” mediante la función det(*).
Transpuesta
(Transpuesta<-t(b)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 2 5 19
[2,] 3 8 4
[3,] 10 7 1Mediante la funcion t(*), se calcula la matriz transpuesta de “b”. De manera que le asignamos el objeto “Transpuesta” la matriz calculada con la funcion t(b).
Inversa
(Inversa_b<-solve(b)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.0204918 -0.03790984 0.06045082
[2,] -0.1311475 0.19262295 -0.03688525
[3,] 0.1352459 -0.05020492 -0.00102459Usando la función solve(b), calculamos la matriz inversa de “b” asignandole la matriz resultante al objeto “Inversa”.
Matriz_Cofactores
(Inversa_b*det(b)-> r); [,1] [,2] [,3]
[1,] -20 37 -59
[2,] 128 -188 36
[3,] -132 49 1(Adj_b <- r) [,1] [,2] [,3]
[1,] -20 37 -59
[2,] 128 -188 36
[3,] -132 49 1Le asignamos a “r” la operación de la inversa de “b” por el determinante de la misma. Renombramos a “r” y llamamos a Adj_b, que corresponde a la matriz de cofactores.
Solución matriz c:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 8 0 1
[2,] 3 8 -1
[3,] 9 -4 -9Determinante
(Determinante<-det(c))[1] -692Transpuesta
(Transpuesta<-t(c)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 8 3 9
[2,] 0 8 -4
[3,] 1 -1 -9Inversa
(Inversa_c<-solve(c)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.10982659 0.005780347 0.01156069
[2,] -0.02601156 0.117052023 -0.01589595
[3,] 0.12138728 -0.046242775 -0.09248555Matriz_Cofactores
(Inversa_c*det(c)-> r); [,1] [,2] [,3]
[1,] -76 -4 -8
[2,] 18 -81 11
[3,] -84 32 64(Adj_c <- r) [,1] [,2] [,3]
[1,] -76 -4 -8
[2,] 18 -81 11
[3,] -84 32 64Solución matriz d:
(d<-matrix(data = c(1,8,4,0,7,2,0,-9,4), nrow = 3,ncol = 3)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 8 7 -9
[3,] 4 2 4Determinante
(Determinante<-det(d))[1] 46Transpuesta
(Transpuesta<-t(d)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 8 4
[2,] 0 7 2
[3,] 0 -9 4Inversa
(Inversa_d<-solve(d)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 1.0000000 -4.163336e-17 1.110223e-16
[2,] -1.4782609 8.695652e-02 1.956522e-01
[3,] -0.2608696 -4.347826e-02 1.521739e-01Matriz_Cofactores
(Inversa_d*det(d)-> r); [,1] [,2] [,3]
[1,] 46 -1.915135e-15 5.107026e-15
[2,] -68 4.000000e+00 9.000000e+00
[3,] -12 -2.000000e+00 7.000000e+00(Adj_d <- r) [,1] [,2] [,3]
[1,] 46 -1.915135e-15 5.107026e-15
[2,] -68 4.000000e+00 9.000000e+00
[3,] -12 -2.000000e+00 7.000000e+00Solución matriz e:
[,1] [,2] [,3]
[1,] -2 0 -1
[2,] 9 10 9
[3,] 1 12 20Determinante
(Determinante<-det(e))[1] -282Transpuesta
(Transpuesta<-t(e)) [,1] [,2] [,3]
[1,] -2 9 1
[2,] 0 10 12
[3,] -1 9 20Inversa
(Inversa_e<-solve(e)) [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.3262411 0.04255319 -0.03546099
[2,] 0.6063830 0.13829787 -0.03191489
[3,] -0.3475177 -0.08510638 0.07092199Matriz_Cofactores
(Inversa_a*det(e)-> r); [,1] [,2] [,3]
[1,] -192.05172 272.2759 -145.86207
[2,] 72.93103 -106.9655 87.51724
[3,] 80.22414 -145.8621 68.06897(Adj_e <- r) [,1] [,2] [,3]
[1,] -192.05172 272.2759 -145.86207
[2,] 72.93103 -106.9655 87.51724
[3,] 80.22414 -145.8621 68.06897Solución matriz f con a,b y c definidos:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 5 3 2
[2,] 2 5 3
[3,] 5 2 3Determinante
(Determinante<-det(f))[1] 30Transpuesta
(Transpuesta<-t(f)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 5 2 5
[2,] 3 5 2
[3,] 2 3 3Inversa
(Inversa_f<-solve(f)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.3 -0.1666667 -0.03333333
[2,] 0.3 0.1666667 -0.36666667
[3,] -0.7 0.1666667 0.63333333Matriz_Cofactores
(Inversa_f*det(f)-> r); [,1] [,2] [,3]
[1,] 9 -5 -1
[2,] 9 5 -11
[3,] -21 5 19(Adj_f <- r) [,1] [,2] [,3]
[1,] 9 -5 -1
[2,] 9 5 -11
[3,] -21 5 19Solución matriz g:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 8 1
[2,] -2 19 10
[3,] 2 4 11Determinante
(Determinante<-det(g))[1] 628Transpuesta
(Transpuesta<-t(g)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 2 -2 2
[2,] 8 19 4
[3,] 1 10 11Inversa
(Inversa_g<-solve(g)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.26910828 -0.13375796 0.09713376
[2,] 0.06687898 0.03184713 -0.03503185
[3,] -0.07324841 0.01273885 0.08598726Matriz_Cofactores
(Inversa_g*det(g)-> r); [,1] [,2] [,3]
[1,] 169 -84 61
[2,] 42 20 -22
[3,] -46 8 54(Adj_g <- r) [,1] [,2] [,3]
[1,] 169 -84 61
[2,] 42 20 -22
[3,] -46 8 54Solución matriz h:
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 11 12 9 -2
[2,] 9 7 4 1
[3,] 8 9 2 7
[4,] 9 7 6 1Determinante
(Determinante<-det(h))[1] 540Transpuesta
(Transpuesta<-t(h)) [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 11 9 8 9
[2,] 12 7 9 7
[3,] 9 4 2 6
[4,] -2 1 7 1Inversa
(Inversa_h<-solve(h)) [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.14814815 0.370370370 -0.0962963 0.007407407
[2,] 0.20370370 -0.009259259 0.1074074 -0.335185185
[3,] 0.00000000 -0.500000000 0.0000000 0.500000000
[4,] -0.09259259 -0.268518519 0.1148148 0.279629630Matriz_Cofactores
(Inversa_h*det(h)-> r); [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -80 200 -52 4
[2,] 110 -5 58 -181
[3,] 0 -270 0 270
[4,] -50 -145 62 151(Adj_h <- r) [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -80 200 -52 4
[2,] 110 -5 58 -181
[3,] 0 -270 0 270
[4,] -50 -145 62 151Solución matriz i:
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 13 7 2 -2
[2,] -3 8 2 -12
[3,] 8 -2 3 9
[4,] 8 -12 8 2Determinante
(Determinante<-det(i))[1] -10386Transpuesta
(Transpuesta<-t(i)) [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 13 -3 8 8
[2,] 7 8 -2 -12
[3,] 2 2 3 8
[4,] -2 -12 9 2Inversa
(Inversa_i<-solve(i)) [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.09397266 -0.06836126 -0.0751011 0.02176006
[2,] -0.01636819 0.07953014 0.1155402 -0.05911804
[3,] -0.10552667 0.18332370 0.2154824 0.02474485
[4,] -0.05199307 0.01733102 0.1317158 -0.04072790Matriz_Cofactores
(Inversa_i*det(i)-> r); [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -976 710 780 -226
[2,] 170 -826 -1200 614
[3,] 1096 -1904 -2238 -257
[4,] 540 -180 -1368 423(Adj_i <- r) [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -976 710 780 -226
[2,] 170 -826 -1200 614
[3,] 1096 -1904 -2238 -257
[4,] 540 -180 -1368 423Solución matriz j:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 4 5 8
[2,] 9 8 1
[3,] 3 8 2Determinante
(Determinante<-det(j))[1] 341Transpuesta
(Transpuesta<-t(j)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 4 9 3
[2,] 5 8 8
[3,] 8 1 2Inversa
(Inversa_j<-solve(j)) [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.02346041 0.15835777 -0.17302053
[2,] -0.04398827 -0.04692082 0.19941349
[3,] 0.14076246 -0.04985337 -0.03812317Matriz_Cofactores
(Inversa_j*det(j)-> r); [,1] [,2] [,3]
[1,] 8 54 -59
[2,] -15 -16 68
[3,] 48 -17 -13(Adj_j <- r) [,1] [,2] [,3]
[1,] 8 54 -59
[2,] -15 -16 68
[3,] 48 -17 -13