Zero Finding

Zero Finding adalah sebuah topik dalam kalkulus yang mencari nilai-nilai x untuk membuat suatu fungsi f(x) menjadi nol. Nilai-nilai x tersebut disebut sebagai akar, nol, atau solusi dari fungsi f(x). Zero Finding dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah Fisika, Matematika, atau Teknik yang melibatkan persamaan non-linear.

Contoh analogi yang digunakan untuk membantu Zero Finding yaitu dengan mengibaratkan fungsi f(x) sebagai sebuah kurva untuk melintasi sumbu x. Nilai-nilai x yang membuat f(x) menjadi nol adalah titik-titik potong antara kurva dan sumbu x. Untuk menemukan titik-titik potong tersebut, kita dapat menggunakan berbagai metode, seperti metode grafik, metode tabel, metode biseksi, metode regula falsi, metode Newton-Raphson, atau metode secant.

f <- makeFun(2.1 - 2.0*x + 0.05*x^2 - 0.001*x^3 ~ x)
function (x) 2.1 - 2.0*x + 0.05*x^2 - 0.001*x^3
## function (x) 2.1 - 2.0*x + 0.05*x^2 - 0.001*x^3
Zeros(f(x) - 0 ~ x, bounds(x=-50:50))
## # A tibble: 1 × 2
##       x   .output.
##   <dbl>      <dbl>
## 1  1.08 -0.0000507
slice_plot(f(x) ~ x, bounds(x=-50:50)) %>%
  gf_hline(yintercept = ~ 3, color="green")

Program di atas adalah cara untuk membuat dan menggambar fungsi yang berbentuk kurva. Fungsi adalah aturan yang mengubah angka menjadi angka lain. Misalnya, fungsi f(x) = 2x + 1 artinya jika kita masukkan angka x ke dalam aturan ini, kita akan mendapatkan angka baru yaitu 2x + 1.

Koefisien adalah angka yang dikalikan dengan x dalam fungsi. Misalnya, dalam fungsi f(x) = 2x + 1, koefisien dari x adalah 2. Koefisien mempengaruhi bentuk dan arah dari kurva. Jika koefisien lebih besar, kurva akan lebih curam. Jika koefisien negatif, kurva akan miring ke kiri. Jika koefisien nol, kurva akan datar.

Pangkat adalah angka yang menunjukkan berapa kali x dikalikan dengan dirinya sendiri dalam fungsi. Misalnya, dalam fungsi f(x) = x^2, pangkat dari x adalah 2. Pangkat mempengaruhi jumlah lengkungan dari kurva. Jika pangkat lebih besar, kurva akan lebih banyak lengkungnya. Jika pangkat ganjil, kurva akan melintasi sumbu x dua kali. Jika pangkat genap, kurva akan melintasi sumbu x satu kali atau tidak sama sekali.

Dalam program di atas, kita membuat fungsi g(x) =2.1 - 2.0x + 0.05x^2 - 0.001*x^3 dengan menggunakan fungsi makeFun. Fungsi ini memiliki empat suku, yaitu:

  1. \(2.1\) adalah konstanta atau koefisien yang tidak tergantung pada \(x\).
  2. \(-0.2x\) adalah suku linear, dengan koefisien \(-0.2x\).
  3. \(0.05x^2\) adalah suku kuadrat, dengan koefisien \(0.05\) dan pangkat \(x\) adalah \(2\).
  4. \(-0.001x^3\) adalah suku kubik, dengan koefisien \(-0.001\) dan pangkat \(x\) adalah \(3\).

Kombinasi dari suku-suku ini membentuk kurva tertentu saat fungsi \(g(x)\) dievaluasi untuk berbagai nilai \(x\). Anda juga dapat melakukan berbagai operasi dan analisis matematika pada fungsi ini, seperti menentukan akar (nol) dari fungsi atau menggambar kurvanya.

Sumber : Kalkulus Mosaic, https://dtkaplan.github.io/MC2/#instructors-preface