Une tige d’acier avec le rayon de 1 mm et la longueur de 50 cm est soumise à une tension (la traction) de 500 N. Trouvez la longueur finale de la tige. Faites le même pour une tige d’aluminium de dimension égale. (Y\(_{Acier}\)=20x10\(^{10}\) Pa et Y\(_{Alum}\)=7x10\(^{10}\) Pa)
Solution
Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser la loi de Hooke, qui établit la relation entre la force appliquée à un matériau, sa constante de raideur (élasticité) et la déformation résultante. La formule générale de la loi de Hooke est donnée par :
\[ F = A \times Y \times \varepsilon \]
où \(F\) est la force appliquée, \(A\) est l’aire de la section transversale, \(Y\) est le module de Young du matériau, et \(\varepsilon\) est la déformation (changement de longueur divisé par la longueur initiale).
L’aire de la section transversale \(A\) d’une tige de rayon \(r\) est donnée par \(A = \pi r^2\), et la déformation \(\varepsilon\) peut être calculée en utilisant la formule \(\varepsilon = \frac{F}{A \times Y}\).
Pour l’acier, les valeurs données sont \(Y_{\text{Acier}} = 20 \times 10^{10} \, \text{Pa}\), \(r = 1 \, \text{mm} = 0.001 \, \text{m}\), \(F = 500 \, \text{N}\) et \(L = 0.5 \, \text{m}\). Pour l’aluminium, \(Y_{\text{Alum}} = 7 \times 10^{10} \, \text{Pa}\), \(r = 0.001 \, \text{m}\) et \(F = 500 \, \text{N}\).
Pour trouver la déformation \(\varepsilon\) dans chaque cas, nous utilisons la formule \(\varepsilon = \frac{F}{A \times Y}\) et ensuite nous pouvons trouver la longueur finale \(L_f\) en utilisant la formule \(L_f = L + \varepsilon \times L\).
Pour l’acier : \[ A_{\text{Acier}} = \pi \times (0.001 \, \text{m})^2 = 3.1416 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \] \[ \varepsilon_{\text{Acier}} = \frac{500 \, \text{N}}{3.1416 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \times 20 \times 10^{10} \, \text{Pa}} \approx 7.96 \times 10^{-4} \] \[ L_{f_{\text{Acier}}} = 0.5 \, \text{m} + 7.96 \times 10^{-4} \times 0.5 \, \text{m} = 0.500398 \, \text{m} \]
Pour l’aluminium : \[ A_{\text{Alum}} = \pi \times (0.001 \, \text{m})^2 = 3.1416 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \] \[ \varepsilon_{\text{Alum}} = \frac{500 \, \text{N}}{3.1416 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \times 7 \times 10^{10} \, \text{Pa}} \approx 2.25 \times 10^{-4} \] \[ L_{f_{\text{Alum}}} = 0.5 \, \text{m} + 2.25 \times 10^{-4} \times 0.5 \, \text{m} = 0.5001125 \, \text{m} \]
La longueur finale de la tige en acier est environ \(0.5004 \, \text{m}\) et en aluminium environ \(0.5001 \, \text{m}\).
Considère le fémur d’un mâle adulte. Ses dimensions sont: la longueur = 50 cm, le rayon = 1.5 cm et le rayon de la partie interne qui contient la moelle osseuse = 0.4 cm. Considérez qu’un des fémurs soutient une force de poids corporel de 700 N d’une personne qui marche. Trouvez: (a) le stress compressif appliqué à ce fémur et (b) le montant de fémur raccourcissant causé par cette charge. (Y\(_{Femur}\)=0,94x10\(^{10}\) Pa)
Solution
Pour calculer le stress compressif appliqué au fémur, nous pouvons utiliser la formule suivante :
\[ \text{Stress} = \frac{\text{Force}}{\text{Aire de la section transversale}} \]
où la force est égale au poids corporel de la personne qui marche, soit 700 N, et l’aire de la section transversale du fémur peut être calculée en soustrayant la surface du trou interne de la surface totale de la section transversale du fémur.
\[ \text{Aire de la section transversale} = \pi \times (\text{Rayon extérieur}^2 - \text{Rayon interne}^2) \]
Pour le rayon extérieur, nous avons \(r = 1.5 \, \text{cm} = 0.015 \, \text{m}\) et pour le rayon interne, \(r_{\text{interne}} = 0.4 \, \text{cm} = 0.004 \, \text{m}\).
Calculons l’aire de la section transversale :
\[ \text{Aire de la section transversale} = \pi \times (0.015^2 - 0.004^2) \approx 6.56 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \]
Maintenant, calculons le stress compressif :
\[ \text{Stress} = \frac{700 \, \text{N}}{6.56 \times 10^{-4} \, \text{m}^2} \approx 1.07 \times 10^6 \, \text{Pa} \]
Le stress compressif appliqué à ce fémur est environ \(1.07 \times 10^6 \, \text{Pa}\).
Pour calculer le raccourcissement du fémur dû à cette charge, nous pouvons utiliser la formule de déformation élastique :
\[ \text{Déformation} = \frac{\text{Stress}}{\text{Module de Young} \times \text{Longueur}} \]
Où le module de Young (\(Y_{\text{Femur}}\)) est donné comme \(0.94 \times 10^{10} \, \text{Pa}\) et la longueur du fémur est \(50 \, \text{cm} = 0.5 \, \text{m}\).
Calculons le raccourcissement :
\[ \text{Déformation} = \frac{1.07 \times 10^6 \, \text{Pa}}{0.94 \times 10^{10} \, \text{Pa} } \approx 1.138 \times 10^{-4} \, \text{m} \]
\[\Delta L= L_0 \epsilon = 0,5 \times 1,138 \times 10^{-4} \approx 0.057 \, mm\]
Le fémur se raccourcit d’environ \(0.057 \times 10^{-5} \, \text{m}\) ou \(57 \, \mu \text{m}\) sous l’effet de la charge de 700 N.
Les os qui se cassent plus fréquemment quand compressé sont le tibia immédiatement au-dessus de la cheville, où la zone croisée est environ 3 cm\(^2\). Trouvez la charge compressive (force) qui cause une fracture du tibia d’une des jambes. Nous supposons que le tibia a les mêmes propriétés élastiques que le fémur. (\(_{tibia}\)=16,7x10\(^{7}\) Pa)
Solution
Pour déterminer la charge compressive qui cause une fracture du tibia, nous pouvons utiliser la même formule que précédemment :
\[ \text{Stress} = \frac{\text{Force}}{\text{Aire de la section transversale}} \]
Nous avons l’aire de la section transversale (\(A\)) du tibia, qui est \(3 \, \text{cm}^2 = 3 \times 10^{-4} \, \text{m}^2\). Le stress maximum (\(\sigma_{\text{tibia}}\)) avant la fracture est donné comme \(16.7 \times 10^7 \, \text{Pa}\). Nous voulons trouver la force (\(\text{Force}\)).
La formule pour le stress peut être réarrangée pour trouver la force :
\[ \text{Force} = \text{Stress} \times \text{Aire de la section transversale} \]
\[ \text{Force} = 16.7 \times 10^7 \, \text{Pa} \times 3 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \]
\[ \text{Force} = 5.01 \times 10^4 \, \text{N} \]
La charge compressive qui cause une fracture du tibia est d’environ \(5.01 \times 10^4 \, \text{N}\).
Un enfant qui court, frappe sa tête sur une porte vitrée parce qu’il n’a pas remarqué que la porte a été fermée. À l’instant de la collision, la vitesse de l’enfant était 3 m/s. Sa tête s’arrete sur le verre et sa vitesse finale c’est zéro. Considérez que la masse de la tête de l’enfant est 3.0 kg et la durée de la collision est 0.01 s. Trouvez la force moyenne de ralentissant exercée par la porte vitrée sur le front de l’enfant.
Solution
Pour trouver la force moyenne exercée par la porte vitrée sur le front de l’enfant, nous pouvons utiliser la formule de la deuxième loi de Newton, qui énonce que la force est égale au produit de la masse et de l’accélération (\(F = m \times a\)).
Premièrement, nous devons calculer l’accélération subie par l’enfant lors de la collision. L’accélération peut être calculée en utilisant la formule :
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\]
où \(\Delta v\) est la variation de vitesse (vitesse finale moins vitesse initiale) et \(\Delta t\) est la durée de la collision. Dans ce cas, \(\Delta v = 0 \, \text{m/s} - 3 \, \text{m/s} = -3 \, \text{m/s}\) (la vitesse finale est 0 car l’enfant s’arrête) et \(\Delta t = 0.01 \, \text{s}\).
Calculons l’accélération :
\[a = \frac{-3 \, \text{m/s}}{0.01 \, \text{s}} = -300 \, \text{m/s}^2\]
Maintenant, nous pouvons calculer la force en utilisant la formule \(F = m \times a\), où \(m\) est la masse de la tête de l’enfant (3.0 kg) et \(a\) est l’accélération que nous avons calculée :
\[F = 3.0 \, \text{kg} \times (-300 \, \text{m/s}^2) = -900 \, \text{N}\]
La force moyenne exercée par la porte vitrée sur le front de l’enfant est de \(900 \, \text{N}\). La valeur est négative car la force agit dans le sens opposé à la direction du mouvement initial de l’enfant.
Une femme avec une masse de 60 kg saute avec des jambes raides d’une table de hauteur de 1 m . Pendant la collision, un ralentissement à un état de repos arrive dans un intervalle de temps de 0.005 s. Calculez : (a) la force moyenne exercée sur chaque pied; (b) la distance voyagée par le corps pendant la collision. (v\(_{chute libre}\)=\(\sqrt{2gh}\))
Solution
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les lois de la cinématique et les principes de la dynamique.
Calcul de la vitesse initiale : La vitesse initiale de la femme peut être calculée à partir de la hauteur de la table en utilisant la formule de la vitesse en chute libre : \[ v_{\text{chute libre}} = \sqrt{2gh} \] où \(g\) est l’accélération due à la gravité (\(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)) et \(h\) est la hauteur de la table (1 m dans ce cas). \[ v_{\text{chute libre}} = \sqrt{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1 \, \text{m}} \] \[ v_{\text{chute libre}} \approx 4.43 \, \text{m/s} \]
Calcul de l’accélération : L’accélération peut être calculée à partir de la variation de vitesse et du temps de collision en utilisant la formule : \[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \] où \(\Delta v\) est la variation de vitesse (de \(v_{\text{chute libre}}\) à 0 m/s) et \(\Delta t\) est le temps de collision (0.005 s dans ce cas). \[ \Delta v = 0 \, \text{m/s} - 4.43 \, \text{m/s} = -4.43 \, \text{m/s} \] \[ a = \frac{-4.43 \, \text{m/s}}{0.005 \, \text{s}} \] \[ a = -886 \, \text{m/s}^2 \] (négatif parce que l’accélération est opposée à la direction du mouvement initial)
(a) Calcul de la force moyenne sur chaque pied : La force moyenne peut être calculée en utilisant la formule de la deuxième loi de Newton : \[ F = m \times a \] où \(m\) est la masse de la femme (60 kg) et \(a\) est l’accélération calculée. \[ F = 60 \, \text{kg} \times 886 \, \text{m/s}^2 \] \[ F \approx 53160 \, \text{N} \] (la force est positive car elle agit dans la direction opposée à l’accélération) \[ F_{pied}= \frac{53160 \,N}{2}=26580 \, N\]
(b) Calcul de la distance parcourue pendant la collision : La distance parcourue pendant la collision peut être calculée en utilisant la formule de la cinématique : \[ d = v_i \times t + \frac{1}{2} a \times t^2 \] où \(v_i\) est la vitesse initiale, \(t\) est le temps de collision et \(a\) est l’accélération.
\[ d = 4.43 \, \text{m/s} \times 0.005 \, \text{s} + \frac{1}{2} \times (-886 \, \text{m/s}^2) \times (0.005 \, \text{s})^2 \] \[ d \approx 0.011 \, \text{m} \]
La femme parcourt environ 0.011 m pendant la collision.
Trouvez la hauteur maximale dont une personne avec 100kg et une jambe allongée rigide peut tomber sans casser le calcaneus. Supposons que dans une telle condition la distance d’amortissement a voyagé pendant la collision est 1.0 cm. Considérez la force compressive du calcaneus le même comme celui d’une vertèbre. Calculez aussi la durée de la collision. Considérez pour cette personne que la surface du calcaneus qui touche le sol est 5.5 cm\(^2\). \ (\(_{frac}\) = 0,19 \(\times 10^7\) Pa)
Solution
Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la formule de la force exercée sur le calcaneus pendant la collision :
Calcul de la force : \[ F = \sigma \times S = 0,19 \times 10^7 \times 5,5 \times 10^{-4} = 1045 \, \text{N} \]
Calcul de l’accélération : \[ a = \frac{F}{m} = \frac{1045 \, \text{N}}{100 \, \text{kg}} = 10,45 \, \text{m/s}^2 \]
Calcul de la durée de la collision : Utilisant l’équation \(y = \frac{1}{2} a t^2\) avec \(y = 0.01 \, \text{m}\) (1 cm) et \(a = 10,45 \, \text{m/s}^2\), nous trouvons : \[ t^2 = \frac{2y}{a} = \frac{2 \times 0.01 \, \text{m}}{10,45 \, \text{m/s}^2} \] \[ t^2 \approx 0,0019 \] \[ t \approx 0,044 \, \text{s} \]
Calcul de la vitesse initiale : \[ v = v_0 + at \] \[ 0 = v_0 - 10,45 \times 0,044 \] \[ v_0 \approx 0,46 \, \text{m/s} \]
Calcul de la distance parcourue pendant la collision :
La vitesse initiale de la collision est égale à la vitesse finale de la chute, donc nous pouvons utiliser cette égalité pour trouver le temps de chute.
\[v=v_0+at \Rightarrow 0.46=0+9.8t \Rightarrow t \approx 0,047s \]
Utilisant l’équation \(y = \frac{1}{2} a t^2\) avec \(a = 10,45 \, \text{m/s}^2\) et \(t = 0,047 \, \text{s}\) (valeur corrigée), \[ y = \frac{1}{2} \times 10,45 \times (0,047)^2 \] \[ y \approx 0,011 \, \text{m} \]
Les valeurs calculées semblent maintenant correctes. La personne peut tomber d’une hauteur d’environ 1 cm sans se fracturer le calcaneus, amortissant la chute sur une distance de 1 cm pendant une collision d’environ 0,044 s.