Introducción General sobre Latex

Apuntes de Latex: Conceptos básicos. En éste PDF que se muestra su link en la parte anterior, se exponen de forma breve unas nociones básicas acerca de la escritura de expresiones matemáticas.

Sea \(X\) una variable aleatoria con un conjunto de datos \(N\), de la cual se toma una muestra aleatoria \(x\) de tamaño \(n\), con valores \(x_1, x_2, x_3 ,…, x_n\), se tienen las siguientes definiciones:

  1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. (http://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_tendencia_central#cite_note-0)
  2. MEDIDAS DE POSICIÓN. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como MEDIDAS DE POSICIÓN. En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas. (Férnandez Fernández, Santiago; Alejandro Córdoba, José María Cordero Sánchez, Alejandro Córdoba (2002). «3.3. Medidas de posición». Estadística Descriptiva (2ª edición). ESIC Editorial. p. 134. ISBN8473563069. http://books.google.es/books?id=31d5cGxXUnEC&printsec=frontcover#PPA134,M1.)
  3. MEDIDAS DE DISPERSIÓN. Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

MEDIA GENERALIZADA

Las medias generalizadas, también conocidas como Medias de Hölder, es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como

\[ x(m)=\sqrt[m]{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^m}\space \space,Si \space m\neq0 \] \[ x(m)=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i }\space, Si \space m=0 \]

En donde el parámetro \(m\) indica si la media es: Aritmética, Geométrica, Cuadrática, o Harmónica

1. Media Aritmética, con m = 1

\[x(m)=\sqrt[1]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^1}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i=\bar{x}\] ### CODIGO EN R de la media Aritmética:

x = c(23, 21, 19, 18, 24, 27, 18)
n = length(x)
sum(x)/n
## [1] 21.42857

Función mean() de R para obtener la media aritmética

R tiene la función mean() que calcula el promedio aritmético de un vector numérico.

mean(x)
## [1] 21.42857

2. geométrica con m=0

\[x(m)=g=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}\]

La media geométrica, se define como la raíz N-ésima del producto de los N valores de la distribución.El empleo más frecuente de la media geométrica es el de promediar variables tales como porcentajes, tasas, números índices. etc., es decir, en los casos en los que se supone que la variable presenta variaciones acumulativas.

CÓDIGO EN R: R tiene la función prod() que realiza la productoria y con la cual podemos calcular la media geométrica

n = length(x)
g = prod(x)^(1/n)
g
## [1] 21.20328

3. armónica con m=-1

\[x(m)=\sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^m}=( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^m)^{\frac{1}{-1}}=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^m}\]

Obsérvese que la inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable. No es aconsejable en distribuciones de variables con valores pequeños. Se suele utilizar para promediar variables tales como productividades, velocidades, tiempos, rendimientos, cambios, etc.

CODIGO EN R de la media Armónica:

n = length(x)
H=(1/n*sum(x^-1))^(1/-1)
H
## [1] 20.98676

4. cuadrática con m=2

\[x(m)=Q=\sqrt[2]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2}\]

La media cuadrática es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores de la variable.

CODIGO EN R:

n = length(x)
Q=sqrt(1/n*sum(x^2))
Q
## [1] 21.65971

Obsérvese que para valores de \(m<=0\) la expresión sólo tiene sentido si todos los \(xi>=0\). (http://es.wikipedia.org/wiki/Media_generalizada)

Creando una función en R

Se puede crear una función para generar todas las medias con el siguiente código:

mtc <- function(x) {
    n=length(x)
    X=sum(x)/n
    G=prod(x)^(1/n)
    H=(1/n*sum(x^-1))^(1/-1)
    Q=sqrt(1/n*sum(x^2))
    medias=data.frame(X,G,H,Q)
    print(medias)
}

Podemos usar la función pasándole un vector numérico

mtc(x)
##          X        G        H        Q
## 1 21.42857 21.20328 20.98676 21.65971