The power-law family

Empat fungsi buku pola —$1$, $1/x$, $x$, $x^2$— milik keluarga tak terbatas yang disebut fungsi power-law. Beberapa contoh lain dari fungsi hukum kekuasaan adalah $x^3,x^4,\dots$juga $x^{1/2}$(juga ditulis $\sqrt{x}$), $x^{1.36}$, dan seterusnya. Beberapa di antaranya juga memiliki nama khusus (meskipun lebih jarang digunakan), tetapi semua fungsi power-law dapat ditulis sebagai $x^p$, dimana $x$adalah input dan $p$adalah sebuah angka.

Dalam keluarga power-law, sangat membantu untuk mengetahui dan dapat membedakan antara beberapa kelompok:

1. Monomial

Ini adalah fungsi hukum kekuasaan seperti $m_0(x)\equiv x^0$, $m_1(x)\equiv x^1$, $m_2(x)\equiv x^2$, $\dots$, $m_p(x)\equiv x^p$, $\dots$, dimana $p$adalah bilangan bulat (mis., bilangan bulat non-negatif). Tentu saja, $m_0()$sama dengan fungsi konstan, karena $x^0=1$. Demikian juga, $m_1(x)$sama dengan fungsi identitas sejak itu $x^1=x$. Sedangkan sisanya, mereka hanya memiliki dua bentuk umum: keduanya mengangkat tangan untuk kekuatan genap $p$(seperti masuk $x^2$, parabola); satu lengan ke atas dan yang lainnya ke bawah untuk kekuatan aneh dari $p$(seperti masuk $x^3$ , kubik). Memang, Anda bisa melihatnya bahwa $x^4$ memiliki bentuk yang mirip $x^2$dan itu $x^5$bentuknya mirip $x^3$. Karena alasan ini, monomial tingkat tinggi jarang dibutuhkan dalam praktiknya.

# 2. Kekuatan Negatif Ini adalah fungsi hukum kekuasaan di mana $p<0$, seperti $f(x)\equiv x^{-1}$, $g(x)\equiv x^{-2}$, $h(x)\equiv x^{-1.5}$. Untuk kekuatan negatif, ukuran output adalah berbanding terbalik untuk ukuran input. Dengan kata lain, ketika input besar (tidak mendekati nol) outputnya kecil, dan ketika inputnya kecil (mendekati nol), outputnya adalah sangat besar. Perilaku ini terjadi karena eksponen negatif suka $x^{-2}$dapat ditulis ulang sebagai $\frac{1}{x^2}$ ; masukannya adalah terbalik dan menjadi penyebut, maka istilah “ berbanding terbalik ”.

# 3. Kekuatan Non-integer misalnya. $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=x^{\pi }$, dan seterusnya. Kapan $p$adalah sebagian kecil atau angka irasional (seperti $\pi$), fungsi power-law yang bernilai nyata $x^p$hanya dapat mengambil angka non-negatif sebagai input. Dengan kata lain, domain dari $x^p$adalah 0 untuk $\mathrm{\infty }$kapan $p$ bukan bilangan bulat. Anda mungkin sudah menemukan pembatasan domain ini saat menggunakan hukum daya dengan $p=\frac{1}{2}$ sejak $f(x)\equiv x^{1/2}=\sqrt{x}$, dan akar kuadrat dari angka negatif bukan a nyata jumlah. Anda mungkin pernah mendengar tentang imajiner angka yang memungkinkan Anda untuk mengambil akar kuadrat dari angka negatif, tetapi untuk saat ini, Anda hanya perlu memahami bahwa ketika bekerja dengan fungsi hukum daya bernilai nyata dengan eksponen non-integer, input harus non-negatif. (Ceritanya sedikit lebih rumit karena, secara aljabar, eksponen rasional suka $1/3$atau $1/5$dengan penyebut bernilai ganjil dapat diterapkan pada angka negatif. Aritmatika komputer, bagaimanapun, tidak mengenali pengecualian ini.)

1.8 Domain fungsi power-law dengan daya non-integer adalah $0\le x<\mathrm{\infty }$