Exercício

O recenseamento de 320 famílias com 5 filhos revelam os dados abaixo:

Número de Filhos 5M 0H 4M 1H 3M 2H 2M 3H 1M 4H 0M 5H Total
Número de Famílias 18 56 110 88 40 8 320

Onde:

M: MulherH: Homem

Teste a hipótese de que o nascimento de homens e mulheres é igualmente provável. Caso \(H_0\) seja rejeitada, estimar o parâmetro da distribuição e refazer o teste.

Resolução

Criando o dataset

# criando o dataset
clas1=c(5,0,18);clas2=c(4,1,56);clas3=c(3,2,110)
clas4=c(2,3,88);clas5=c(1,4,40);clas6=c(0,5,8)

data = data.frame(clas1,clas2,clas3,clas4,clas5,clas6,c(0,0,sum(clas1[3],clas2[3],clas3[3],clas4[3],clas5[3],clas6[3])))
names(data)=c("clas1","clas2","clas3","clas4","clas5","clas6","total")
row.names(data)=c("m","h","nfami")
attach(data)
## The following objects are masked _by_ .GlobalEnv:
## 
##     clas1, clas2, clas3, clas4, clas5, clas6
data
##       clas1 clas2 clas3 clas4 clas5 clas6 total
## m         5     4     3     2     1     0     0
## h         0     1     2     3     4     5     0
## nfami    18    56   110    88    40     8   320

Seja X: o número de homens em 5 filhos, então \(X\sim Bin(5,0.5)\), pois queremos testar se a probabilidade de nascer um homem ou uma mulher é igual. Sendo assim temos as seguintes hipóteses

\(H_0: p=0.5\)\(H_1: p\neq 0.5\)

Onde as frequências observadas e experadas são dadas respectivamente por

#frequencias observadas
fob=data[3,1:6]
fob
##       clas1 clas2 clas3 clas4 clas5 clas6
## nfami    18    56   110    88    40     8
#frequencias experadas
aux=0:5
prob=dbinom(aux,5,0.5)
fexp=prob*320
fexp
## [1]  10  50 100 100  50  10

Sendo

\(E_i\): frequências experadas\(O_i\): frequências observadas

Onde uma hipótese equivalente é

\(H_0: E_i-O_i=0\)\(H_1: E_i-O_i\neq 0\)

A estatística de teste é dado por

\(Q=\sum\limits_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\)

onde \(Q\sim X^2_{k-1}\)

Portanto, temos

n=320 # numero de familias

Ei=fexp # frequencias esperadas

Oi=fob # frequências Observadas

k=length(Oi) # quantidade de frequências esperadas

Q=sum(((Oi-Ei)^2)/Ei) # Estatística de teste
Q
## [1] 11.96
p_valor=pchisq(Q,k-1,lower=F) # calculando o p-valor
p_valor
## [1] 0.03534
a=0.05
qa=qchisq(1-a,k-1) # quantil teorico com alpha=0.05
qa
## [1] 11.0705

Vemos que \(Q_{obs}>Q_{0.05}\). portanto rejeitamos \(H_0\), ou seja,temos indicios a probabilidade de nascer um homem e a probabilidade de nascer uma mulher são diferentes para um \(\alpha=0.05\).Abaixo podemos ver o gráfico do teste como p-valor.

Estimando o parâmetro e refazendo o teste

Temos que o estimador de máxima verossimilhança para \(p\) na distribuição \(binomial(n,p)\) é dado por

\(\hat{p}=\frac{Total de homens}{Total de homens + Total de mulheres}\)

totalh=sum(data[3,1:6]*data[2,1:6]) # total de homens

totalm=sum(data[3,1:6]*data[1,1:6]) # total de mulheres

fh=totalh/(totalh+totalm) # porcentagem de homens 
fh
## [1] 0.4625

Portano recalculando as novos frequências esperadas temos

# recalculando as frequencias experadas
aux2=0:5
prob2=dbinom(aux,5,fh)
prob2
## [1] 0.04486342 0.19301702 0.33216883 0.28581969 0.12296894 0.02116210
fexp2=prob2*320
fexp2 # nova frequencia experada
## [1]  14.356293  61.765448 106.294026  91.462302  39.350060   6.771871

Ficamos com o seguinte teste de hipóteses:

\(H_0: p=0.4625\)\(H_1: p\neq 0.4625\)

Refazendo as contas com a nova frequência experada chegamos no seguinte gráfico

## [1] 0.8551028
## [1] 11.0705

Vemos que o p-valor é maior que um \(\alpha=0.05\), ou seja não reitamos \(H_0\), isso implicaque que para um \(\alpha=0.05\) temos indicios que a probabilidade de nascer um homem não é diferente de que 0,4625. Como a probabilidade de nascer uma mulher é complementar à de um homem podemos dizer que temos suspeita de que a probabilide de nascer um homem é diferente da probabilidade de nascer uma mulher.