Pattern-book Function

Dalam Bab ini, kami memperkenalkan fungsi pola-buku— daftar singkat fungsi matematika dasar yang menyediakan sebagian besar alat untuk mewakili dunia nyata sebagai objek matematika. Pikirkan item-item dalam daftar pola-buku sebagai aktor yang berbeda, yang masing-masing terampil dalam menggambarkan karakter pola dasar: pahlawan, penjahat, kekasih, bodoh, komik. Sebuah drama menyatukan berbagai karakter, kostum mereka, dan menghubungkan mereka satu sama lain melalui dialog atau cara lain.

Model matematika adalah sejenis cerita; pemodel matematika adalah sejenis penulis naskah. Dia menggabungkan tipe karakter matematika untuk bercerita tentang hubungan. Kita hanya perlu segelintir fungsi matematika, analog dari aktor karakter dalam drama dan komedi untuk membuat sketsa model. Dalam menciptakan model matematika, Anda berpakaian aktor yang sesuai dengan era dan lokasi dan mengumpulkan mereka dalam harmoni atau perselisihan.

1.1 Buku pola kostum teater

Demikian pula, kita akan mulai dengan serangkaian pola fungsi yang telah dikumpulkan dari generasi pengalaman. Untuk mengingatkan kita tentang peran mereka dalam pemodelan, kita akan menyebutnya fungsi pola-buku. Fungsi-fungsi pola-buku ini berguna dalam menggambarkan beragam aspek dunia nyata dan memiliki sifat-sifat sederhana terkait kalkulus yang membuatnya relatif mudah ditangani. Hanya ada beberapa fungsi buku pola dari mana sejumlah fungsi pemodelan yang berguna dapat dibangun. Menguasai kalkulus sebagian adalah masalah menjadi akrab dengan koneksi matematika di antara fungsi-fungsi buku pola. (Anda akan melihat ini pada waktunya.)

Fungsi-fungsi buku pola ini dapat diterapkan secara luas. Tapi tidak ada yang akan membingungkan gambar dalam buku pola dengan kostum yang siap dipakai. Setiap pola harus disesuaikan agar sesuai dengan aktor dan disesuaikan agar sesuai dengan tema, pengaturan, dan aksi cerita.

Pola dan Bentuk

Fungsi-fungsi pola buku terkait erat satu sama lain tetapi masing-masing memiliki bentuk yang khas. Berbagai bentuk membuat set kecil fungsi pola-buku cocok untuk berbagai tugas pemodelan.

Itu fungsi konstan sangat sederhana sehingga Anda mungkin cenderung menyangkal bahwa itu adalah fungsi sama sekali. Output dari fungsi konstan selalu numerik 1, terlepas dari input. Oleh karena itu grafiknya adalah garis horizontal.

Anda mungkin bertanya-tanya mengapa harus bersusah payah membuat fungsi yang outputnya selalu sama. Bagaimanapun, dalam formula itu muncul hanya sebagai angka 1, tidak terlihat seperti fungsi sama sekali. Tetapi formula bukan satu-satunya cara untuk mewakili fungsi. Misalnya, di Blok III kita akan menggunakan struktur matematika yang disebut vektor “ ” untuk mewakili fungsi di mana fungsi konstan tidak hanya menjadi angka 1.

Itu fungsi proporsional juga sederhana. Apa pun inputnya akan menjadi output. ( Nama lain yang sesuai untuk fungsi proporsional adalah fungsi identitas “ ” karena outputnya identik dengan input. ) Grafik fungsi proporsional adalah garis lurus yang melewati $(0,0)$dengan kemiringan 1.

Terlepas dari kesederhanaan fungsi proporsional, ini banyak digunakan dalam pemodelan. Dalam rumus, fungsi proporsional muncul sebagai $x$atau $y$atau apa pun nama inputnya. Ini bisa membuat sulit untuk mengingat bahwa itu memang fungsi.

Fungsi buku pola yang tersisa semuanya memiliki bentuk melengkung.

1.4 Fungsi Gaussian “ berbentuk lonceng”.

*Fungsi Gaussian berbentuk seperti gunung atau, dalam banyak deskripsi, seperti garis besar lonceng. Ketika input menjadi lebih besar — baik dalam arah positif atau negatif — output semakin dekat dan mendekati nol tetapi tidak pernah menyentuh nol dengan tepat.

Fungsi Gaussian begitu sering muncul dalam pemodelan sehingga memiliki nama lain yang banyak digunakan fungsi normal. Tetapi “ normal ” memiliki arti tambahan dalam matematika, jadi kami tidak akan menggunakan nama itu dalam buku ini.

1.5 Fungsi sigmoid memberikan transisi yang lancar dari nol ke satu.

Itu fungsi sigmoid model transisi yang lancar. Untuk input negatif besar, outputnya (hampir) nol. Untuk input positif besar, outputnya (hampir) satu. Sigmoid terkait erat dengan Gaussian. Ketika Anda maju dalam kalkulus, hubungan akan menjadi jelas.

1.6 Output dari fungsi eksponensial tumbuh lebih cepat dan lebih cepat ketika input meningkat.

Itu fungsi eksponensial memiliki aplikasi penting di seluruh sains, teknologi, dan ekonomi. Untuk input negatif besar, nilainya sangat dekat dengan nol dengan cara yang sama seperti untuk fungsi Gaussian atau sigmoid. Tetapi output meningkat lebih cepat dan lebih cepat karena input semakin besar. Perhatikan bahwa output dari fungsi eksponensial tidak pernah negatif untuk input apa pun.

Itu fungsi logaritmik didefinisikan hanya untuk input positif. Ketika input meningkat dari tepat di atas nol, output t terus tumbuh tetapi pada tingkat yang lebih lambat dan lebih lambat. Tidak pernah level keluar.

Fungsi eksponensial dan logaritmik adalah teman akrab. Anda dapat melihat hubungan dengan mengambil grafik logaritma, dan memutarnya 90 derajat, lalu membalik ke kiri seperti di Gambar 5.8. (Catatan dalam Gambar 5.8 bahwa grafik ditampilkan seolah-olah dicetak pada transparansi yang kita lihat dari belakang.)

Output dari fungsi sinusoid berosilasi saat input berubah. Itu adalah fungsi periodik, artinya pola berulang dengan sendirinya dari kiri ke kanan dalam grafik.

Jika Anda mempelajari trigonometri, Anda dapat terbiasa dengan sinus sudut dalam konteks segitiga siku-siku. Itulah asal mula historis dari gagasan itu. Untuk tujuan kita, pikirkan sinusoid hanya sebagai fungsi yang mengambil input dan mengembalikan output. Mulai awal 1800-an, fungsi osilasi menemukan area aplikasi yang sangat besar dalam mewakili fenomena seperti difusi panas melalui bahan padat dan, akhirnya, komunikasi radio.

Dalam trigonometri, sinus memiliki cosinus sebagai pasangan. Namun keduanya berfungsi $\sin ()$dan $\cos ()$sangat terkait sehingga kita tidak perlu membuat perbedaan, menyebut keduanya hanya “ sinusoids. ”

1.9 Output dari fungsi sinusoid berosilasi ketika input meningkat.