Dalam Bab sebelumnya, kami mendorong Anda untuk memikirkan fungsi dalam hal ruang input yang mungkin — domain — dan ruang output lainnya. Dalam bab ini, kami memperkenalkan cara untuk memvisualisasikan ruang input dan output dari suatu fungsi bersama.

Mari kita mulai dengan ruang yang cocok untuk mewakili jumlah tunggal. Itu dikenal dengan garis angka.

1.1 Garis angka
1.1 Garis angka

Garis angka hanyalah garis horizontal. Tanda centang vertikal, seperti 1.1 Garis angka, hanyalah alat bantu untuk interpretasi manusia.

Pada baris angka, jumlah spesifik apa pun adalah satu poin. Misalnya, mari kita gunakan baris angka untuk menunjukkan dua jumlah 6.3 dan − 4.5

Sebuah fungsi menghubungkan setiap titik dalam ruang input ke titik yang sesuai di ruang output. Gambar 1.2 memberikan sketsa fungsi sewenang-wenang di mana ruang input dan output ditampilkan satu di atas yang lain. Panah digambar untuk beberapa nilai input, menunjukkan di mana nilai-nilai itu dipetakan dalam ruang output. (Ada jauh lebih banyak panah untuk ditarik di antara yang ditampilkan, tetapi grafik akan menjadi tidak terbaca.)

1.2 Fungsi adalah pemetaan dari ruang input ke ruang output
1.2 Fungsi adalah pemetaan dari ruang input ke ruang output

Gambar diatas memberikan informasi tentang fungsi tersebut, tetapi dalam format yang hampir tidak mungkin ditafsirkan. Renė Descartes (1596 – 1650) mengusulkan visualisasi yang lebih baik: menempatkan ruang input dan output pada sudut yang tepat satu sama lain dan, alih-alih kepala dan ekor panah yang menghubungkan posisi yang sesuai pada input dan pada ruang output, gunakan nilai kepala dan ekor sebagai koordinat dalam ruang input / output gabungan. Pengaturan ini ditunjukkan pada Gambar 1.3 dan disebut, seperti yang Anda tahu grafik dari fungsi.

1.3 Pemetaan dari Gambar 1.2 diterjemahkan ke dalam bentuk grafik. Ruang input ditandai oleh sumbu horizontal dan ruang output oleh sumbu vertikal. Masing-masing panah masuk Gambar 1.2 diwakili oleh suatu titik, yang koordinat x-nya adalah posisi ekor panah di ruang input dan yang koordinat y-nya adalah posisi kepala panah di ruang output. Ini adalah grafik dari fungsi.
1.3 Pemetaan dari Gambar 1.2 diterjemahkan ke dalam bentuk grafik. Ruang input ditandai oleh sumbu horizontal dan ruang output oleh sumbu vertikal. Masing-masing panah masuk Gambar 1.2 diwakili oleh suatu titik, yang koordinat x-nya adalah posisi ekor panah di ruang input dan yang koordinat y-nya adalah posisi kepala panah di ruang output. Ini adalah grafik dari fungsi.

Keuntungan utama dari format ini adalah bahwa output fungsi dapat ditampilkan tidak hanya pada set nilai input yang terpisah, tetapi pada setiap titik dalam ruang input kontinu. Gambar 1.3 menunjukkan satu fungsi yang konsisten dengan titik diskrit, tetapi ada banyak fungsi seperti itu. Artinya, panah diskrit ditampilkan di Gambar 1.2 tidak sepenuhnya tentukan fungsi unik.

Matematika di dunia

Sel-sel saraf berkomunikasi melalui tegangan dan arus listrik. Untuk komunikasi jarak jauh (jarak lebih dari sekitar 1 mm) pensinyalan mengambil bentuk pulsa tegangan yang terjadi berulang-ulang dengan kecepatan yang berbeda. Pembentukan pulsa-pulsa ini, yang disebut potensi aksi “,” adalah subjek dari proyek penelitian yang luas pada 1950-an yang melibatkan memasukkan elektroda kecil ke dalam sel saraf yang relatif besar (“ raksasa ”) yang memediasi reaksi cumi yang melarikan diri. Eksperimen khas melibatkan pengaturan secara artifisial tegangan melintasi membran sel. Melalui percobaan ini, para ilmuwan — John Eccles, Alan Hodgkin, dan Andrew Huxley — dapat menggambarkan secara matematis hubungan antara tegangan membran dan arus melintasi membran.Model kalkulus yang dibangun dari hubungan memberikan deskripsi singkat tentang biofisika potensi aksi. Hadiah Nobel 1963 diberikan untuk pekerjaan ini.

1.4 Data (disimulasikan) dari percobaan akson raksasa cumi-cumi. Kurva yang halus ditarik melalui titik data.
1.4 Data (disimulasikan) dari percobaan akson raksasa cumi-cumi. Kurva yang halus ditarik melalui titik data.

Dalam setiap percobaan, tegangan membran ditetapkan pada tingkat tertentu (katakanlah, -50 mV) dan arus diukur. Gambar 1.4 menunjukkan seperti apa data itu, setiap titik menunjukkan hasil dari satu percobaan.

Titik data itu sendiri dapat digambarkan secara metaforis sebagai awan “ ” yang melihat tegangan vs arus “ langit. ” Awan dunia nyata sering menunjukkan pola seperti bentuk binatang atau negara. Kita dapat mengatakan bahwa awan yang diberikan menyerupai kelinci. Demikian pula, awan data menunjukkan pola antara arus dan tegangan. Kita mungkin, misalnya, menggambarkan hubungan tegangan saat ini sebagai berbentuk S. Atau, daripada menggunakan huruf “ S ” kita bisa menggambar kurva melalui titik-titik untuk meringkas dan menyederhanakan hubungan.

Kurva halus di Gambar 1.4 menggambarkan hubungan antara arus dan tegangan secara kuantitatif. Misalnya, jika Anda tahu bahwa arus adalah 0, Anda dapat menggunakan kurva untuk mencari tahu berapa tegangannya sekitar -90 mV atau -50 mV atau -10 mV. Tetapi ketika arus 0, tegangan akan tidak be, say, -75 atau -150.

Di sisi lain, fungsi tidak dapat mewakili semua jenis hubungan. Misalnya, kurva di Gambar 1.4 menunjukkan hubungan antara arus dan tegangan dalam sel-sel saraf. Tetapi tidak ada tegangan fungsi matematika (arus) yang sesuai dengan hubungan. Alasannya adalah bahwa fungsi matematika dapat memiliki satu dan hanya satu output untuk input yang diberikan. Ada tiga nilai wajar untuk tegangan membran yang secara eksperimental konsisten dengan arus nol, bukan hanya satu.

Perawatan perlu diambil dalam menggunakan fungsi untuk mewakili hubungan. Untuk hubungan tegangan-sel saraf saat ini, misalnya, kita dapat membangun arus fungsi (tegangan) untuk mewakili hubungan. Itu karena untuk setiap nilai tegangan yang diberikan hanya ada satu arus yang sesuai. Tetapi tidak ada fungsi tegangan (arus), meskipun mengetahui arus memberi tahu Anda banyak tentang tegangan.