Apuntes de Latex

Puede consultar los códigos de Latex para escribir las ecuaciones en el siguiente link: https://metodos.fam.cie.uva.es/~latex/apuntes/apuntes3.pdf

MEDIA GENERALIZADA

Sea \(X\) una variable aleatoria con un conjunto de datos \(N\), de la cual se toma una muestra aleatoria \(x\) de tamaño \(n\), con valores \(x_1, x_2, x_3,…, x_n\), se tienen las siguientes definiciones:

Las medias generalizadas, también conocidas como Medias de Hölder, es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como:

\[ x(m) = \sqrt[m]{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^m },Si \space m \neq 0 \] \[ x(m)=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}, Si \space m = 0 \] En donde el parámetro m indica si la media es:

1. Aritmética, con m=1

\[x(m)=\sqrt[1]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^1}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i=\bar{x}\] CODIGO EN R:

x = c(12,18,16,20,23,25,19,21)
m = sum(x)/length(x)
m
## [1] 19.25

R tiene la función \(mean()\) que calcula el promedio aritmético de un vector numérico.

mean(x)
## [1] 19.25

2. geométrica con m=0

\[x(m)=g=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}\]

La media geométrica, se define como la raíz n-ésima del producto de los n valores de la distribución.El empleo más frecuente de la media geométrica es el de promediar variables tales como porcentajes, tasas, números índices. etc., es decir, en los casos en los que se supone que la variable presenta variaciones acumulativas.

CÓDIGO EN R: R tiene la función prod() que realiza la productoria y con la cual podemos calcular la media geométrica

n = length((x))
g = prod(x, na.rm = T)^(1/n)
g
## [1] 18.83782

3. armónica con m=-1

\[x(m)=\sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^m}=( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^m)^{\frac{1}{-1}}=\frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^m}\]

Obsérvese que la inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable. No es aconsejable en distribuciones de variables con valores pequeños. Se suele utilizar para promediar variables tales como productividades, velocidades, tiempos, rendimientos, cambios, etc.

CODIGO EN R:

H=(1/n*sum(x^-1))^(1/-1)
H
## [1] 18.38583

4. cuadrática con m=2

\[x(m)=Q=\sqrt[2]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2}\]

La media cuadrática es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores de la variable.

CODIGO EN R:

Q=sqrt(1/n*sum(x^2))
Q
## [1] 19.62142

Función de las medias de Holder

Se puede crear una función para generar todas las medias con el siguiente código:

mg <- function(x) {
    n=length(x)
    X=sum(x)/n   # Media Aritmética
    G=prod(x)^(1/n)
    H=(1/n*sum(x^-1))^(1/-1)
    Q=sqrt(1/n*sum(x^2))
    medias=data.frame(X,G,H,Q)
    print(medias)
}

mg(x)
##       X        G        H        Q
## 1 19.25 18.83782 18.38583 19.62142