Kuantitas, Fungsi, dan Ruang

Kuantitas, fungsi, dan ruang adalah konsep-konsep fundamental dalam matematika yang memiliki peran penting dalam pemahaman dan analisis fenomena dalam berbagai disiplin ilmu. Kuantitas merujuk pada besaran atau nilai numerik yang digunakan untuk mengukur atau menggambarkan sesuatu, dan sering kali dikaitkan dengan unit yang sesuai, seperti meter untuk panjang atau kilogram untuk massa. Fungsi adalah aturan matematis yang menghubungkan input dengan output, sehingga memungkinkan kita untuk memodelkan dan memahami hubungan antara berbagai variabel. Fungsi dapat digunakan untuk menggambarkan perubahan dalam kuantitas seiring waktu atau variabel lainnya. Ruang adalah kerangka referensi yang digunakan untuk menyusun, mengatur, dan memahami obyek dan fenomena di sekitar kita. Ini termasuk konsep topologi, geometri, dan aljabar yang memungkinkan kita untuk menjelajahi hubungan spasial antara obyek dan kuantitas dalam ruang tersebut. Dengan memahami dan menggunakan konsep-konsep ini, kita dapat memecahkan berbagai masalah dan menjelaskan fenomena yang muncul dalam berbagai konteks ilmiah dan praktis.

Apa itu kuantitas?

1.1 Konsep kuantitas

Kuantitas adalah sebuah konsep matematika yang menggabungkan angka dengan jenis barang yang diukur. Jenis barang ini dapat mencakup hal-hal nyata seperti massa, panjang, waktu, atau volume, dan bahkan konsep abstrak seperti kecepatan atau momentum. Kalkulus membantu dalam memahami kuantitas sebagai komposisi dari elemen-elemen yang lebih sederhana.

Setiap jenis barang memiliki unit ukuran yang sesuai. Contohnya, meter dan mil adalah satuan panjang, sedangkan liter, galon, dan acre-foot adalah satuan volume. Unit-unit ini memberikan konteks yang penting untuk menggambarkan kuantitas, dan angka hanya memiliki arti sebagai kuantitas ketika dikombinasikan dengan unit yang sesuai.

Dalam matematika, operasi seperti penambahan dan pengurangan hanya memiliki makna jika dimensinya sesuai. Sebaliknya, perkalian dan pembagian dapat diterapkan secara universal pada kuantitas. Dalam dunia teknis, matematika unit dan dimensi sangat penting, karena kesalahan dalam penggunaan unit atau dimensi dapat menyebabkan kebingungan atau ketidakakuratan dalam perhitungan.

Dengan pemahaman yang benar tentang kuantitas dan penggunaan unit yang tepat, kita dapat mengukur dan menggambarkan berbagai aspek dunia nyata dengan lebih akurat dan menghindari kesalahan yang dapat terjadi akibat penggunaan angka tanpa konteks yang sesuai.

Apa itu Fungsi?

Fungsi, dalam pengertian matematika dan komputasi mereka, adalah pusat kalkulus. Pengantar Blok Pendahuluan ini dimulai, “ Kalkulus adalah tentang perubahan, dan perubahan adalah tentang hubungan. ” Gagasan fungsi matematika memberikan perspektif yang pasti tentang ini. Hubungan yang diwakili oleh suatu fungsi adalah antara input fungsi dan output fungsi. Inputnya mungkin hari-tahun1 dan curah hujan kumulatif keluaran hingga hari itu. Setiap hari hujan, curah hujan kumulatif meningkat.

Fungsi adalah konsep matematika untuk mengambil satu atau lebih input dan mengembalikan output. Dalam kalkulus, kita terutama akan berurusan dengan fungsi yang mengambil satu atau lebih jumlah sebagai input dan kembalikan yang lain jumlah sebagai output.

Tetapi kadang-kadang kita akan bekerja dengan fungsi yang berfungsi sebagai input dan mengembalikan kuantitas sebagai output. Dan bahkan akan ada fungsi yang mengambil fungsi sebagai input dan mengembalikan fungsi sebagai output.

Dalam definisi seperti $f(x)\equiv \sqrt{x}$,pikirkan $x$ sebagai nama input. Sejauh definisi yang bersangkutan, $x$ hanya sebuah nama. Kami bisa menggunakan nama lain; hanya konvensi yang menuntun kita untuk memilih $x$ . Definisi itu bisa saja sama baiknya$f(y)\equiv \sqrt{y}$ atau $f(\text{zebra})\equiv \sqrt{\text{zebra}}$

Notasi suka $f(x)$ juga digunakan untuk sesuatu yang sama sekali berbeda dari definisi. Khususnya, $f(x)$ bisa berarti terapkan fungsinya $f()$ untuk jumlah yang disebutkan $x$ . Anda selalu dapat mengetahui definisi fungsi — yang dimaksudkan atau menerapkan fungsi — dengan apakah $\equiv$ tanda terlibat dalam ekspresi.

Salah satu tanda yang dikenal untuk menerapkan fungsi adalah ketika isi tanda kurung adalah bukan nama simbolis tapi angka. Misalnya, ketika kita menulis $\sin (7.3)$ kami memberikan nilai numerik $7.3$ ke fungsi sinus. Fungsi sinus kemudian melakukan perhitungannya dan mengembalikan nilai 0,8504366. Dengan kata lain, $\sin (7.3)$ sama sekali setara dengan 0,8504366.

Sebaliknya, menggunakan nama di atasnya adalah milik di dalam tanda kurung menunjukkan bahwa nilai spesifik untuk input sedang ditentukan di tempat lain. Misalnya, ketika mendefinisikan fungsi kita sering akan menjadi menggabungkan dua atau lebih fungsi, seperti ini:

$$g(x)\equiv \exp (x)\sin (x)$$

atau

$$h(y,z)\equiv \ln (z)(\sin (z)-\cos (y)).$$

Itu $y$ dan $z$ di sisi kiri definisi adalah nama-nama input untuk $h()$ .2 Sisi kanan menjelaskan cara membangun output, yang sedang dilakukan oleh menerapkan $\ln ()$ , $\sin ()$ dan $\cos ()$ untuk input. Menggunakan nama-nama di sisi kanan memberi tahu kita fungsi mana yang diterapkan pada input mana. Kami tidak akan tahu nilai spesifik apa yang akan dimiliki input tersebut sampai fungsinya $h()$ sedang diterapkan pada input, seperti halnya

$$h(y=1.7,z=3.2).$$

Setelah kami memiliki input spesifik, kami (atau komputer) dapat menghubungkannya ke sisi kanan definisi untuk menentukan output fungsi:

$$\ln (3.2)(\sin (3.2)-\cos (1.7))=1.163(-0.0584+0.1288)=-0.2178.$$

Apa itu Ruang?

Sebuah ruang3 adalah koleksi terus menerus kemungkinan. Seorang anak yang belajar tentang angka dimulai dengan angka penghitungan “ ”: $1,2,3,\dots$. Di sekolah dasar, himpunan angka diperluas untuk mencakup nol dan angka negatif: $-1,-2,-3,\dots$, memberikan satu set yang disebut integer “.” Menghitung angka dan bilangan bulat adalah set diskrit. Antara dua anggota berturut-turut dari angka penghitungan atau bilangan bulat, tidak ada nomor lain dari set.

Langkah selanjutnya dalam pendidikan matematika anak adalah angka rasional “,” yaitu angka yang ditulis sebagai rasio: $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\dots ,\frac{22}{7}$

, dan seterusnya. Bilangan rasional cocok di spasi di antara bilangan bulat. Yaitu, antara dua bilangan bulat, bahkan yang berurutan, ada bilangan rasional. Misalnya, bilangan rasional $\frac{1}{2}$ jatuh antara 0 dan 1.

Di antara dua bilangan rasional, ada bilangan rasional lain, memang ada bilangan rasional yang tak terbatas. Misalnya, antara $\frac{1}{2}$ dan $\frac{2}{3}$ adalah $\frac{6}{11}$ (dan banyak lainnya, seperti $\frac{7}{11}$ atau $\frac{13}{21}$ ). Penting untuk menganggap bilangan rasional sebagai fitting di ruang antara bilangan bulat.

Jika Anda tidak menemukan kata “ spasi ” dalam kalimat sebelumnya, Anda berada di jalur yang tepat untuk memahami apa yang dimaksud dengan “ terus menerus. ” Misalnya, di antara dua bilangan rasional ada bilangan rasional lain. Pikirkan bilangan rasional sebagai batu loncatan yang menyediakan jalur dari nomor berapa pun ke nomor lain.

1.3 Ruang

Ini adalah pertanyaan yang mendalam apakah bilangan rasional adalah jalan setapak alih-alih batu loncatan yang terisolasi? Jalan setapak adalah struktur tempat Anda dapat memindahkan jumlah berapa pun, sekecil apa pun, tanpa risiko keluar dari struktur. Sebaliknya, gerakan yang terlalu kecil di sepanjang jalan batu loncatan akan menempatkan Anda di dalam air.

1.4 Terus menerus

Set kontinu seperti jalan setapak; betapapun sedikit Anda bergerak dari elemen set Anda masih akan berada di set. Set angka kontinu sering disebut baris nomor, meskipun nama yang lebih formal adalah angka nyata. (“ Real ” adalah pilihan kata yang tidak menguntungkan, tetapi kita terjebak dengannya.)

Metafora yang mendasarinya di sini adalah ruang. Di antara dua titik di ruang angkasa, ada titik lain di ruang angkasa. Kami akan bekerja dengan beberapa ruang yang berbeda, misalnya:

baris angka: semua bilangan real angka positif: bilangan real lebih besar dari nol angka non-negatif: ini adalah ekstensi kecil terkecil dari angka positif yang menambahkan nol ke set. interval tertutup, seperti angka antara 5 dan 10, yang akan kita tulis seperti ini: $5\le x\le 10$, dimana $x$adalah nama yang kami berikan ke set. pesawat Cartesian: semua pasangan bilangan real seperti $(5.62,-0.13)$. Metafora lain untuk ini: titik-titik pada selembar kertas atau layar komputer. ruang koordinat tiga dimensi seperti dunia tiga dimensi kita sehari-hari, umumnya ditulis sebagai seperangkat tiga bilangan real seperti $(-2.14,6.87,4.03)$. ruang dimensi yang lebih tinggi, tetapi kami tidak akan pergi ke sana sampai bagian terakhir buku.