Parcial

Punto 5 y 6

Suponer que la variable aleatoria X se modela con una distribución Gamma. Se utiliza en este caso la parametrización que se usa en el software R. La función de densidad está dada por:

\(f(x) = \frac{1}{\sigma^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x/\sigma} \quad \text{para } x \geq 0, \alpha > 0 \text{ y } \sigma > 0.\)

\(\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt \quad \text{para todos los reales } x \text{ excepto cero y enteros negativos (cuando NaN es devuelto)}.\)

\(E(X) = \alpha \sigma \quad \text{y} \quad \text{Var}(X) = \sigma^2\)

Punto A

Calcular la esperanza matemática y la varianza de la variable aleatoria X cuando esta se modela con una función de densidad Gamma con parámetros Alpha=2 y Sigma=10. Interpretar resultados.

# Parámetros
alpha <- 2
sigma <- 10

# Calcular E(X) y Var(X)
E_X <- alpha * sigma
Var_X <- sigma^2

# Imprimir resultados
cat("Esperanza matemática E(X):", E_X, "\n")

## Esperanza matemática E(X): 20

cat("Varianza Var(X):", Var_X, "\n")

## Varianza Var(X): 100

Interpretación:

• La esperanza matemática de 20 indica que, en promedio, si tomáramos infinitas muestras de la variable aleatoria X, esperaríamos que el valor promedio sea 20. En el contexto de la distribución Gamma, esto podría representar, por ejemplo, el tiempo promedio que se espera que transcurra antes de que ocurran dos eventos, dado que α representa el número de eventos y σ el tiempo promedio entre eventos.
• La varianza de 100 nos indica la variabilidad de las muestras de X alrededor de la media. Una varianza más alta sugiere una mayor dispersión de los valores. En este caso, aunque esperamos que el tiempo promedio entre dos eventos sea de 20 unidades, la variabilidad es bastante alta, lo que significa que puede haber una considerable variación en el tiempo real observado entre dos eventos.

Punto B

Para una variable aleatoria X que se modela con función de densidad de la Gamma con parámetros Alpha=2 y Sigma=10, generar 100 muestras aleatorias de tamaño n=1000. Por cada muestra aleatoria, calcular media muestral. Para estos resultados construir un gráfico de dispersión donde en el eje Y ubiques los resultados de las medias muestrales y en el eje X los valores de 1 a 100 (indexación por muestra). Además, trazar una línea paralela al eje x que corte en el eje y en el valor teórico de la esperanza matemática de la variable X. Interpretar el gráfico y la relación de los resultados muestrales y teóricos.

# Parámetros
alpha <- 2
sigma <- 10
n <- 1000
num_muestras <- 100

# Generar 100 muestras aleatorias de tamaño n=1000
medias_muestrales <- numeric(num_muestras)
for (i in 1:num_muestras) {
  muestra <- rgamma(n, shape=alpha, scale=sigma)
  medias_muestrales[i] <- mean(muestra)
}

# Gráfico de dispersión
plot(medias_muestrales, type="p", ylim=c(min(medias_muestrales), max(medias_muestrales)), xlab="Muestra", ylab="Media Muestral")
abline(h=20, col="red")  # Línea horizontal en E(X) = 20

Interpretación:

El gráfico muestra las medias muestrales de 100 muestras aleatorias de tamaño 1000. La línea roja representa la esperanza matemática teórica de X, que es 20. La mayoría de las medias muestrales se agrupan alrededor de esta línea, lo que demuestra el Teorema del Límite Central. Este teorema establece que, independientemente de la forma de la distribución original de la población, la distribución de las medias muestrales se acercará a una distribución normal a medida que el tamaño de la muestra aumenta. En este caso, aunque la distribución original es Gamma, las medias muestrales tienden a distribuirse normalmente alrededor de la media poblacional de 20.

Punto C

Para una variable aleatoria X que se modela con función de densidad de la Gamma con parámetros Alpha=2 y Sigma=10, generar 12 muestras aleatorias de tamaños n=2, 5, 10, 20, 30, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 1000. Por cada muestra aleatoria, calcular la media muestral. Graficar las estimaciones de las medias utilizando un gráfico de dispersión. Ubicar en el eje X los valores del tamaño de muestra. Comparar estos resultados con lo teórico. Interpretar el gráfico.

# Parametros
alpha <- 2
sigma <- 10
tamanos <- c(2, 5, 10, 20, 30, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 1000)

# Generar muestras aleatorias de diferentes tamanos
medias_muestrales <- numeric(length(tamanos))
for (i in 1:length(tamanos)) {
  muestra <- rgamma(tamanos[i], shape=alpha, scale=sigma)
  medias_muestrales[i] <- mean(muestra)
}

# Grafico de dispersion
plot(tamanos, medias_muestrales, type="p", xlab="Tamano de la muestra", ylab="Media Muestral")
abline(h=20, col="red")  # Linea horizontal en E(X) = 20

Interpretación:

El gráfico muestra cómo varían las medias muestrales a medida que cambia el tamaño de la muestra. A medida que el tamaño de la muestra aumenta, las medias muestrales tienden a acercarse más a la esperanza matemática teórica de X, que es 20. Esto es consistente con la Ley de los Grandes Números, que establece que a medida que el tamaño de la muestra aumenta, la media muestral se acercará a la media poblacional. Se puede observar cómo las medias muestrales de tamaños de muestra más pequeños pueden variar más ampliamente, mientras que las medias de tamaños de muestra más grandes tienden a ser más consistentes y cercanas a 20.