Parcial

Punto 5 y 6

Suponer que la variable aleatoria X se modela con una distribución Gamma. Se utiliza en este caso la parametrización que se usa en el software R. La función de densidad está dada por:

\(f(x) = \frac{1}{\sigma^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x/\sigma} \quad \text{para } x \geq 0, \alpha > 0 \text{ y } \sigma > 0.\)

\(\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt \quad \text{para todos los reales } x \text{ excepto cero y enteros negativos (cuando NaN es devuelto)}.\)

\(E(X) = \alpha \sigma \quad \text{y} \quad \text{Var}(X) = \sigma^2\)

Punto A

Calcular la esperanza matemática y la varianza de la variable aleatoria X cuando esta se modela con una función de densidad Gamma con parámetros Alpha=2 y Sigma=10. Interpretar resultados.

# Parámetros
alpha <- 2
sigma <- 10

# Calcular E(X) y Var(X)
E_X <- alpha * sigma
Var_X <- sigma^2

# Imprimir resultados
cat("Esperanza matemática E(X):", E_X, "\n")

## Esperanza matemática E(X): 20

cat("Varianza Var(X):", Var_X, "\n")

## Varianza Var(X): 100

Interpretación:

La esperanza matemática, o valor esperado, de la variable aleatoria X es 20. Esto significa que, en promedio, esperamos que X tome un valor de 20. La varianza de X es 100, lo que indica la variabilidad o dispersión de los valores de X alrededor de su media.

Punto B

Para una variable aleatoria X que se modela con función de densidad de la Gamma con parámetros Alpha=2 y Sigma=10, generar 100 muestras aleatorias de tamaño n=1000. Por cada muestra aleatoria, calcular media muestral. Para estos resultados construir un gráfico de dispersión donde en el eje Y ubiques los resultados de las medias muestrales y en el eje X los valores de 1 a 100 (indexación por muestra). Además, trazar una línea paralela al eje x que corte en el eje y en el valor teórico de la esperanza matemática de la variable X. Interpretar el gráfico y la relación de los resultados muestrales y teóricos.

# Parámetros
alpha <- 2
sigma <- 10
n <- 1000
num_muestras <- 100

# Generar 100 muestras aleatorias de tamaño n=1000
medias_muestrales <- numeric(num_muestras)
for (i in 1:num_muestras) {
  muestra <- rgamma(n, shape=alpha, scale=sigma)
  medias_muestrales[i] <- mean(muestra)
}

# Gráfico de dispersión
plot(medias_muestrales, type="p", ylim=c(min(medias_muestrales), max(medias_muestrales)), xlab="Muestra", ylab="Media Muestral")
abline(h=20, col="red")  # Línea horizontal en E(X) = 20

Interpretación:

El gráfico muestra las medias muestrales de 100 muestras aleatorias de tamaño 1000. La línea roja representa la esperanza matemática teórica de X. Se espera que las medias muestrales estén cerca de esta línea, lo que demuestra el Teorema del Límite Central.

Punto C

Para una variable aleatoria X que se modela con función de densidad de la Gamma con parámetros Alpha=2 y Sigma=10, generar 12 muestras aleatorias de tamaños n=2, 5, 10, 20, 30, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 1000. Por cada muestra aleatoria, calcular la media muestral. Graficar las estimaciones de las medias utilizando un gráfico de dispersión. Ubicar en el eje X los valores del tamaño de muestra. Comparar estos resultados con lo teórico. Interpretar el gráfico.

# Parametros
alpha <- 2
sigma <- 10
tamanos <- c(2, 5, 10, 20, 30, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 1000)

# Generar muestras aleatorias de diferentes tamanos
medias_muestrales <- numeric(length(tamanos))
for (i in 1:length(tamanos)) {
  muestra <- rgamma(tamanos[i], shape=alpha, scale=sigma)
  medias_muestrales[i] <- mean(muestra)
}

# Grafico de dispersion
plot(tamanos, medias_muestrales, type="p", xlab="Tamano de la muestra", ylab="Media Muestral")
abline(h=20, col="red")  # Linea horizontal en E(X) = 20

Interpretación:

Medida que aumenta el tamaño de la muestra, las medias muestrales deberían acercarse más al valor esperado de 20. Esto se debe a que, con muestras más grandes, la estimación de la media tiende a ser más precisa.