Parcial

Punto 5 y 6

Suponer que la variable aleatoria X se modela con una distribución Gamma. Se utiliza en este caso la parametrización que se usa en el software R. La función de densidad está dada por:

\(f(x) = \frac{1}{\sigma^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x/\sigma} \quad \text{para } x \geq 0, \alpha > 0 \text{ y } \sigma > 0.\)

\(\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt \quad \text{para todos los reales } x \text{ excepto cero y enteros negativos (cuando NaN es devuelto)}.\)

\(E(X) = \alpha \sigma \quad \text{y} \quad \text{Var}(X) = \sigma^2\)

Punto A

Calcular la esperanza matemática y la varianza de la variable aleatoria X cuando esta se modela con una función de densidad Gamma con parámetros Alpha=2 y Sigma=10. Interpretar resultados.

# Parámetros
alpha <- 2
sigma <- 10

# Calcular E(X) y Var(X)
E_X <- alpha * sigma
Var_X <- sigma^2

# Imprimir resultados
cat("Esperanza matemática E(X):", E_X, "\n")

## Esperanza matemática E(X): 20

cat("Varianza Var(X):", Var_X, "\n")

## Varianza Var(X): 100

Punto B

Para una variable aleatoria X que se modela con función de densidad de la Gamma con parámetros Alpha=2 y Sigma=10, generar 100 muestras aleatorias de tamaño n=1000. Por cada muestra aleatoria, calcular media muestral. Para estos resultados construir un gráfico de dispersión donde en el eje Y ubiques los resultados de las medias muestrales y en el eje X los valores de 1 a 100 (indexación por muestra). Además, trazar una línea paralela al eje x que corte en el eje y en el valor teórico de la esperanza matemática de la variable X. Interpretar el gráfico y la relación de los resultados muestrales y teóricos.

# Parámetros
alpha <- 2
sigma <- 10
n <- 1000
num_muestras <- 100

# Generar 100 muestras aleatorias de tamaño n=1000
medias_muestrales <- numeric(num_muestras)
for (i in 1:num_muestras) {
  muestra <- rgamma(n, shape=alpha, scale=sigma)
  medias_muestrales[i] <- mean(muestra)
}

# Gráfico de dispersión
plot(medias_muestrales, type="p", ylim=c(min(medias_muestrales), max(medias_muestrales)), xlab="Muestra", ylab="Media Muestral")
abline(h=20, col="red")  # Línea horizontal en E(X) = 20

Punto C

Para una variable aleatoria X que se modela con función de densidad de la Gamma con parámetros Alpha=2 y Sigma=10, generar 12 muestras aleatorias de tamaños n=2, 5, 10, 20, 30, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 1000. Por cada muestra aleatoria, calcular la media muestral. Graficar las estimaciones de las medias utilizando un gráfico de dispersión. Ubicar en el eje X los valores del tamaño de muestra. Comparar estos resultados con lo teórico. Interpretar el gráfico.

# Parametros
alpha <- 2
sigma <- 10
tamanos <- c(2, 5, 10, 20, 30, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 1000)

# Generar muestras aleatorias de diferentes tamanos
medias_muestrales <- numeric(length(tamanos))
for (i in 1:length(tamanos)) {
  muestra <- rgamma(tamanos[i], shape=alpha, scale=sigma)
  medias_muestrales[i] <- mean(muestra)
}

# Grafico de dispersion
plot(tamanos, medias_muestrales, type="p", xlab="Tamano de la muestra", ylab="Media Muestral")
abline(h=20, col="red")  # Linea horizontal en E(X) = 20