• Variáveis aleatórias discretas: v.a. com valores possíveis enumeráveis. Soma das probabilidades de todos os valores possíveis igual a \(1\).

• Variáveis aleatórias contínuas: v.a. com valores possíveis em um intervalo no conjunto de números reais.

• Exemplo: tempo para finalizar um experimento, peso de uma pessoa, duração de uma chamada telefônica, tempo de vida de uma lâmpada, etc…

• Para esses tipos de quantidades, não é possível associar frequências pontuais tais que a soma de todas seja igual a 1.

• Surge então o conceito de "função de densidade de probabilidade" (f.d.p.).

• Para cada v.a. contínua, associamos uma função de densidade de probabilidade.

Definição: a função de densidade de probabilidade de uma v.a. \(X\) é uma função \(f\) que verifica:

• \(f(x) \geq 0, \quad \forall x\in \mathbb{R}\)

• \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\) (\(f\) é integrável)

Toda v.a. \(X\) à qual seja possível associar uma função de densidade de probabilidade será chamada de v.a. contínua.

Notação: se \(X\) v.a. contínua com função de densidade de probabilidade \(f\), no lugar de \(f\) denotaremos \(f_{X}\).

A função de distribuição acumulada (f.d.a.) de uma v.a. contínua \(X\), que denotaremos por \(F_{X}\), é a probabilidade de que \(X\) pertença ao intervalo da reta (\(-\infty,x\)], ou seja, \[F_{X}(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(u)du\]

Exemplo: Seja \(X\) uma v.a. contínua com a seguinte função de densidade:

\[ f_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x, & 0\leq x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{array} \right.\]

Pela definição de função de densidade:

• \(f(x) \geq 0, \quad \forall\, x\in \mathbb{R}\)

• \(\displaystyle \int_{0}^{2}f(x)dx= \int_{0}^{1}xdx + \int_{1}^{2}(2-x)dx =1\)

• Podemos também calcular \(P(0 < X \leq 0.8) =\int_{0}^{0.8}xdx=0.32\)

Propriedade: toda v.a. \(X\) contínua (ou seja, que possui \(f_{X}\) como função de densidade) tem probabilidade pontual nula: \(P(X=x)=0.\)

Resumindo: \(F(x)=P(X\leq x)\)

• Caso discreto: \(\displaystyle F(x)=P(X \leq x)=\sum_{x_{i}\leq x}P(X=x_{i})\)
  
• Caso contínuo: \(\displaystyle F(x)=P(X \leq x)=\int_{-\infty}^{x}f_{X}(u)du\)

Uma função de densidade de probabilidade deve satisfazer as seguintes propriedades:

1. \(f(x)\geq0,\) para todo \(x \in \mathbb{R}.\)

2. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1.\)

Note que \(e^{-x}\) é positiva para qualquer \(x\) e, consequentemente, \(2e^{-2x}\) também.

Resta mostrar que sua integral é 1:

\[ \int 2e^{-2x} dx = -e^{-2x}\]

Note que a função está definida nesta forma para \(x \geq 0\); para \(x<0\), ela é 0.

Então a integral é:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^0 0 dx + \int_0^{\infty} 2e^{-2x} dx = \]

\[ = \left [ -e^{-2x} \right ] _{0}^{\infty} = \lim_{x\rightarrow \infty} -e^{-2x} - \left ( -e^{-0} \right) = 1 \]

A probabilidade é dada por: \[P(X>10) = \int_{10}^{\infty} 2e^{-2x} dx = \lim_{x\rightarrow \infty} -e^{-2x} - \left ( -e^{(-2)10} \right) = \frac{1}{e^{20}}\]

Definição: Seja \(X\) uma v.a. contínua com densidade \(f_{X}\), a esperança de \(X\) é dada por: \[\mathbb E(X)= \int_{-\infty}^{\infty}x\,f_{X}(x)dx \]

Definição: Seja \(X\) uma v.a. contínua com densidade \(f_{X}\), o \(k\)-ésimo momento de \(X\) é dado por:

\[\mathbb E(X^k)= \int_{-\infty}^{\infty}x^k\,f_{X}(x)dx \]

Definição: Seja \(X\) uma v.a. com valor esperado \(\mathbb E(X)\), definimos por variância, a quantidade:

\[Var(X)= \mathbb E[(X - \mathbb E(X))^2] = \mathbb E(X^2) - [\mathbb E(X)]^2\]

E definimos como desvio padrão: \[\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}\]

Note que assim como no caso discreto, ambas as quantidades oferecem medidas de dispersão da variável \(X\) em relação ao valor esperado \(\mathbb E(X)\).

Considere a seguinte função de densidade: \[ f_{X}(x) = \begin{cases} x, & 0\leq x < 1 \\ 2-x, & 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{cases} \]

Encontre a \(\mathbb E(X)\) e \(Var(X).\)

\[\mathbb E(X)= \int_{-\infty}^{\infty}xf_{X}(x)dx= \int_{0}^{1}x^{2}dx+ \int_{1}^{2}x(2-x)dx= 1\]

\[Var(X)= \int_{-\infty}^{\infty}[x-\mathbb E(X)]^{2}f_{X}(x)dx= \int_{-\infty}^{\infty}[x-1]^{2}f_{X}(x)dx =\frac{1}{6}\]

Calcule a esperança, a variância e a f.d.a. da v.a. \(X\) com a densidade triangular em \([0,1]\).

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica \(5^a\) edição, pág 171.

Esperança \[ \begin{aligned} \mathbb E(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} \!\! x f(x) dx = \int_0^{1/2} \! 4x^2dx + \int_{1/2}^{1} \! 4x(1-x)dx\\ & = \left[ \frac{4x^3}{3} \right]_0^{1/2} + \left[ \frac{2}{3} x^2(3-2x) \right]_{1/2}^{1} = \frac{1}{2} \end{aligned} \]

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua é dada por \[F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt\]

Temos que para \(x \in [0,1/2)\), \(F(x)\) é dada por \[F(x) = \int_0^x 4t dt = 2x^2\]

Para \(x \in [1/2,1]\), a acumulada é dada por \[F(x) = \int_0^{1/2} 4t dt + \int_{1/2}^x 4(1-t)dt = -2x^2 + 4x -1\]

• Dizemos que a v.a. \(X\) tem distribuição Uniforme no intervalo \([a,b]\), \(a<b\) se a função de densidade de probabilidade \(f_{X}\) é dada por:

\[ f_{X}(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{cases} \]

• Notação: \(X \sim U[a,b]\) ou \(X \sim U(a,b)\).

• Cálculo da função de distribuição acumulada:

\[ F_{X}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < a \\ \int_{a}^{x}\frac{1}{b-a}dt=\frac{x-a}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x > b \\ \end{array} \right.\]

Se \(X \sim U[a,b]\), então a esperança e variância são dadas por:

Esperança: \[\mathbb E(X)= \int_{a}^{b}x\frac{1}{(b-a)}dx=\frac{(b+a)}{2}\]

Variância \[\mathbb E(X^{2})= \int_{a}^{b}x^{2}\frac{1}{(b-a)}dx= \frac{(a^{2}+ab+b^{2})}{3}\]

\[Var(X)=\mathbb E(X^{2})-[\mathbb E(X)]^{2}= \frac{(a^{2}+ab+b^{2})}{3}-\frac{(b+a)^{2}}{4}= \frac{(b-a)^{2}}{12}\]

A dureza \(H\) de uma peça de aço pode ser pensada como uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo \([50,70]\) da escala de Rockwel. Então:

\[ f_{H}(h) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{70-50}=\frac{1}{20}, & 50 \leq x \leq 70 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{cases} \]

Calcule a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60.

\[\begin{aligned} P(55<H<60) &= \int_{55}^{60}\frac{1}{20}dh \\ &= \frac{1}{20}(60-55)= \frac{1}{4} \end{aligned} \]

Seja \(X\) uma v.a. distribuída uniformemente, com média 15 e variância 25/3.

• Encontre a função de densidade de \(X\).

• Qual é a probabilidade de que \(X > 14\)?

Lembre-se que a esperança e variância de uma v.a. \(X \sim U[a,b]\) são dadas por \[\mathbb E(X) = \frac{a+b}{2} \qquad \mbox{e} \qquad Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\]

Temos o seguinte sistema, portanto:

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{a+b}{2} &=& 15 \\ \displaystyle \frac{(b-a)^2}{12} &=& \displaystyle \frac{25}{3} \\ \end{cases} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{cases} a+b &=& 30 \\ (b-a)^2 &=& 100 \\ \end{cases} \]

Ou simplesmente (você é capaz de dizer por que tomamos a raiz positiva apenas, neste sistema não-linear?)

\[ \left\{ \begin{array}{ccr} a + b & = & 30 \\ b - a & = & 10 \\ \end{array} \right. \]

O sistema tem solução \(a=10\), \(b=20\), o que nos mostra que \(X \sim U[10,20]\) e

\[ f_{X}(x) = \begin{cases} \frac{1}{10}, & 10 \leq x \leq 20 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{cases} \]

A probabilidade de que \(X>14\) é dada por \[P(X>14) = \int_{14}^{20}\frac{1}{10}dx = \frac{(20-14)}{10} = 0.6\]

• Dizemos que uma v.a. \(X\) possui distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda\) (\(\lambda>0\)) se a função de densidade de probabilidade \(f_{X}\) é dada por:

\[ f_{X}(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{cases} \]

• Notação: \(X \sim Exp(\lambda)\)

• A função de distribuição acumulada é dada por:

\[ F_{X}(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}dt=1-e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{cases} \]

Se \(X \sim Exp(\lambda)\), a esperança e variância são dadas por:

Esperança: \[\mathbb E(X)=\int_{0}^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}\]

Variância:

\[\mathbb E(X^{2})=\int_{0}^{\infty}x^{2}\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{2}{\lambda^{2}}\]

\[Var(X)=\mathbb E(X^{2})-[\mathbb E(X)]^{2}=\frac{2}{\lambda^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda^{2}}\]

Sabemos que se \(X \sim exp(\lambda)\), então \[F(x) = P(X \leq x) = 1-e^{-\lambda x} \quad \mbox{ e } \quad \mathbb E(X) = \lambda^{-1}\]

Basta então observarmos que

\[P(X \leq 1000) = 1 - e^{-\lambda 1000} = 0.75 \Leftrightarrow \lambda = \frac{\ln(4)}{1000} = 0.0013863\]

Concluimos então que o tempo médio de vida (em horas) é \[\mathbb E(X) = \frac{1}{0.0013863} = 721.3475,\] e que \(75\%\) dos componentes duram 1000 horas ou menos.

Um antiga fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua fabricação é de \(800\) horas de uso contínuo e segue uma distribuição exponencial.

Qual a probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo gratuitamente, se oferece uma garantia de \(300\) horas de uso?

\(X\): vida útil do tubo de TV.

\(\mathbb E[X]= 800\). Como \(X \sim Exp(\lambda)\) e \(\mathbb E[X]= \frac{1}{\lambda}=800\), portanto \(\lambda= \frac{1}{800}.\)

\[ f_{X}(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{cases} \quad = \quad \begin{cases} \frac{1}{800} e^{-\frac{x}{800}}, & x \geq 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{cases} \]

Se \(X<300\), a fábrica tem que substituir gratuitamente.

\[P(X<300)= \int_0^{300}\frac{1}{800}e^{-\frac{x}{800}}dx =\left[-e^{-\frac{x}{800}} \right]_0^{300}= 0.3127\]

A seguinte função de distribuição de probabilidade \[ f_{X}(x) = \begin{cases} 2 e^{-2 x}, & x \geq 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \\ \end{cases} \]
representa a distribuição do índice de acidez (\(X\)) de um determinado produto alimentício.

O produto é consumível se este índice for menor do que \(2\).

O setor de fiscalização apreendeu \(30\) unidades do produto. Qual a probabilidade de que pelo menos \(10\%\) da amostra seja imprópria para consumo?